专题1 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题1 集合与常用逻辑用语一、单选题1．设，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，，，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.2．给出以下几个结论： ①命题，则；②命题“若 ，则”的逆否命题为：“若，则”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④若，则的最小值为4.其中正确结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①命题，则，不满足命题的否定形式，所以①错误；②命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，满足逆否命题的定义所以②正确； ③“命题为真”可知“命题为真”反之不成立，所以“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，③正确； ④若，则，当且仅当时，表达式取得最小值为5；因为，所以表达式没有最小值，所以④不正确；所以②③正确. 故选：B．3．命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得－e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是（    ）A．(－2，－) B．(－2，－)∪[－1，＋∞)C．[－，－1) D．(2，－)∪[1，＋∞)【答案】C【解析】命题在区间[1，2]上单调递增，∴在区间[1，2]上恒成立,即在区间[1，2]上恒成立，解得：.命题q：存在x∈[2，e]，使得 成立,即.令，，令，，当时，，单调递增，所以，又∴，∴在上单调递增.∴，解得.又∵p且q为假，p或q为真，即p真q假，p假q真两种情况；当p真q假时，当p假q真时，∴.故选：C4．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的(   )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若在取得极小值，．令，得或．①当时，．故在上单调递增，无最小值；②当时，，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．故在处取得极小值．综上，函数在处取得极小值． “”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件．故选：．5．已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】三角形中，“”，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.三角形为锐角三角形为锐角.三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B.6．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设,根据图象可知,,再由, 取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选：B．7．如图，在直角梯形中，，，，为中点，，分别为，的中点，将沿折起，使点到，到，在翻折过程中，有下列命题：①的最小值为；②平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直角梯形中，， ，，为中点，，分别为，的中点，将沿折起，使点到，到，在翻折过程中，当与重合时，的最小值为；所以①正确；连接交于连接，可以证明平面平面，所以平面，所以②正确；当平面时，可得平面，所以，所以③正确；因为，，所以直线平面，所以无论位于何位置，均有.所以④正确；故选：D.8．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于方程表示的曲线为椭圆，所以，解得且.所以“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A9．命题p：在数列中，“，”是“是公比为的等比数列”的充分不必要条件；命题q：若，，则为奇函数，则在四个命题，，，中，真命题的个数为（     ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为当时也有，，但是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立．又因为当是公比为的等比数列时，有，，所以必要性成立，所以命题p为假命题；当时，可以推得为奇函数；当为奇函数时，可以得到，故命题q为真命题，因此真，假，真，假，故选：B．二、填空题10．下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①已知，“且”是“”的充分条件；②已知平面向量，，“且”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题：“，使且”的否定为“，都有且”．【答案】①③【解析】对于①，已知，“且”是“”的充分条件，正确；对于②，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；“ ”，不能得到，“且”，故错；对于③，在单位圆上或圆外任取一点，满足“”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“”，在单位圆内任取一点，满足“”，但不满足，“”，故正确；对于④，命题“，使且”的否定为“，都有或”，故错．故答案为：①③11．定义：实数若满足，则称是等差的，若满足，则称是调和的.已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素既是等差的，又是调和的，则称集合为“好集”的个数是__________．【答案】1008【解析】因为，且，所以，故或（舍，，∴．令，得，又，“好集”的个数为．故答案：1008．12．给出下列三种说法：①命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧()”是假命题．②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3.③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中所有正确说法的序号为________________．【答案】①③【解析】①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且¬q”为假命题.②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0.则l1⊥l2的充要条件为＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足＝−3，故本命题不对.③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；13．设表示不超过x的最大整数，如：．给出下列命题：①对任意实数x，都有；②若，则；③；④若函数，则的值域为．其中所有真命题的序号是______．【答案】①②④.【解析】根据定义①②显然正确；对③：，，，所以，故错；对④：时，，，所以，.所以；同理时，；时，.故④正确.三、解答题14．设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由所给的不等式可得当时，由，或 当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，，于是.15．已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由 得， 若，为真时实数t的取值范围是.由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是 （Ⅱ）设， 是的必要不充分条件，. 当时，，有，解得； 当时，，显然，不合题意． ∴实数a的取值范围是．16．已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两个实根均大于3.若或为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】.【解析】若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴0<2a－6<1，∴3<a<，若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足，∴，故a>，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则，∴<a≤3或a≥.故a的取值范围是{a|<a≤3或a≥}．17．已知命题；命题函数在区间上有零点．（1）当时，若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，命题，则或．函数在区间上单调递增，且函数在区间上有零点，则，命题，若为真命题，，.实数的取值范围是；（2），，命题；命题，命题是命题的充分不必要条件，，，得.当时，则有，不合乎题意；当时，则有，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.18．（1）己知直线，求与直线l平行且到直线l距离为2的直线方程；（2）若关于x的不等式的解集是的子集，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）设与直线平行的直线方程为，所以两平行线间的距离为，解得或，所以所求直线方程为或.（2）解关于x的不等式，可化为，①当时候，解集为，要使是的子集，所以，所以得到，②当时，解集为，满足解集是的子集，符合题意，③当时，解集为，此时解集不是的子集，不符合题意.综上所述，的取值范围为.