专题2 函数及其性质-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题2 函数及其性质一、单选题1．己知奇函数的导函数为，．当时，．若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设所以当时，是增函数，因为是奇函数，所以有，因此有，所以是偶函数，而，可以化为，是偶函数，所以有，当时，是增函数，所以有，故本题选D.2．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，因此，实数的取值范围是．故选：B.3．已知函数，则关于x的不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令， ，，则为偶函数，令，则，若，所以在单调递增又在上为增函数，所以在上为增函数，原不等式，即，所以，所以或，故选：D.4．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且函数与直线有一个交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为奇函数，为偶函数，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为奇函数的定义域为，所以.因为函数与直线有一个交点，所以.所以，，.所以.故.故选：B.5．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得， ，当时，，当时，，函数单调递减，当时， ，函数单调递增，所以时，函数的最小值，且 ，，，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以时，函数的最小值，作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意，故选：B.6．定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（    ）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由为奇函数知，∴，即，∴，∴是周期为3的周期函数，故，即，∴.故选：B.7．定义：表示的解集中整数的个数.若，，且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】将的图象向右平移一个单位得到的图象，再将轴上方图象部分向下翻折对称，得到的图象如图所示，注意到,结合函数的对称性可知，为使的解集中整数的个数为2（整数解只能是2和3），必须且只需,且，即且的取值范围是.故选：D.8．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】记为，，∴是奇函数，排除C;当时，,故B、D错误，故选：A.9．已知函数，若，则实数的取值范围是(  )A． B． C． D．【答案】C【解析】因为设，定义域，所以为奇函数，，所以单调递增，不等式解得故选C项.10．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．以上情况均有可能【答案】B【解析】由可得，即函数的周期，因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，因为，是锐角三角形的两个内角，所以且即，所以即，．故选：．二、填空题11．函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.【答案】【解析】因为 设，所以 ； 则是奇函数， 所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即， ∵是奇函数，∴， 则 .故答案为：2．12．若定义在上的奇函数满足，，则的值为_______．【答案】【解析】由于定义在上的奇函数满足，则该函数是周期为的周期函数，且，则，，，又，，则，因此，.故答案为：.13．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，有下列命题：①2是函数的周期；②函数在上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.【答案】①②④【解析】用换中的，得，所以是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数是定义在上的偶函数且时，，作出函数的部分图象如图所示由图知，函数在上是增函数，故②正确；函数的最大值是1，最小值是，故③错误；直线是函数图象的一条对称轴，故④正确.故答案为：①②④14．已知函数的定义域为，且满足条件：①；②．则________；若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是________．【答案】        【解析】因为，所以是周期为的函数，故．作出函数在上的图象如图所示，由图可知，当时，方程在上有个根，而函数在上有个周期，所以方程在上恰有个根，则每个周期内有三个根，所以的取值范围为．故答案为：；.三、解答题15．设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，即或或解之得或，即不等式的解集为.（2）由题意得：当时为减函数，显然恒成立.当时，为增函数，，当时，为减函数，综上所述：使恒成立的的取值范围为.16．在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有 ，解得 ；同理，当时，有，解得，综上，。（2）若在上是闭函数，则在上是单调函数，①当在上是单调增函数，则 ，解得，检验符合； ②当在上是单调减函数，则，解得，在上不是单调函数，不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。17．已知函数且，满足，且，其中.（1）求函数的解析式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由得，即，解得或(舍去)，所以.（2）由（1）得由于，即，所以，即，，所以．18．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式，.【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1），；（2）任取，所以函数在上是增函数；（3）.19．如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；（2）求的最大值及此时的值．【答案】（1）（2）的最大值为，【解析】（1）由题设，得（），当时，，当时，，当时，，故（2）易知当时，为单调递增函数，，当时，为单调递减函数，，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．