专题5 函数的应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题5 函数的应用一、单选题1．若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（   ）A．   B．   C．   D．【答案】C【解析】设，可得，令，可得，令，可得，可得函数递增区间为，递减区间为，由函数在区间上仅有一个零点，，，若，则，显然不符合题意，故，或，可得或，故选C.2．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（   ）A．1 B．3 C．6 D．7【答案】D【解析】因为，则，所以的最小正周期为，又由得的图像关于直线对称.令，则的图像如图所示，由图像可得，与的图像在有7个交点且实数解的和为,故选D.3．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，画出函数的图象如下图所示：恰有三个零点即有三个不同交点，即有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点即 所以可得所以选A4．已知函数，若关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，同理可得在上单调递增，作出的函数图像如图所示：  设的两根为 由恰好有四个不相等的实数根，则方程的一根在区间上，另一根在区间上 不妨设，，根据二次函数零点分布可得，即，解得故实数m的取值范围是.故选：A5．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】的图象如下图所示：由图可知：当时且，则令，所以，所以，又因为，所以，所以，令，所以，所以，所以.故选C.6．已知函数，若对于，，使得，则的最大值为（　　）A．e B．1-e C．1 D．【答案】D【解析】不妨设f()=g()＝a，∴＝a，∴＝ln(a+e)，＝，故＝ln(a+e)-，（a＞-e）令h（a）＝ln(a+e)-，h′（a），易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，且h′（0）＝0，故h（a）在a处有最大值，即的最大值为；故选D．7．已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则(   )A．12 B．16 C．18 D．20【答案】D【解析】可以画出如上图的图象，由性质可知：，，故选择D.8．某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）(    ) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年【答案】B【解析】依题经过年后，产品的年产量为产品的年产量为，依题意若产品的年产量会超过产品的年产量，则化简得，即，所以，又，则所以至少经过年产品的年产量会超过产品的年产量.故选：B9．对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的一对“雷点”.已知，，若函数与恰有一个“雷点”，则实数的取值范围为（    ）A． B．C．D．【答案】C【解析】令，整理得，它表示圆心为半径为1的圆（x轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示.由知，的图象为过定点P(0,1)的直线l，因为函数与恰有一个“雷点”,与右侧下半圆有一个交点，利用圆心到直线的距离等于半径可求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率，直线PA,PB的斜率分别为，故实数k的取值范围为：.故选：C10．定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是 （    ）A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；【答案】A【解析】①不正确，原因如下．若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数 ②不正确，原因如下．若 f（x）=x2是一个λ-伴随函数，则（x+λ）2+λx2=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾③正确．若f（x）是-伴随函数．则f（x+）+f（x）=0，取x=0，则f（）+f（0）=0，若f（0），f（）任一个为0，函数f（x）有零点．若f（0），f（）均不为零，则f（0），f（）异号，由零点存在定理，在（0，）区间存在x0，f（x0）=0．即-伴随函数至少有一个零点．故选A．二、填空题11．已知函数，若有3个零点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】由题可知：有3个零点等价于函数与的图象有3个交点当时，，则可知若，，则函数单调递减若，，则函数单调递增当时，，则则函数在单调递增又直线恒过原点如图当直线与相切时，设切点为，所以，所以当直线与相切时，切点为原点所以，则由函数在单调递减，在单调递增所以，所以又函数与的图象有3个交点则故答案为：12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，递减，当时，递增，由于函数是定义域为的偶函数，则函数在和上递减，在和上递增，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．当时，；当时，.要使关于的方程，，有且仅有个不同实数根，设，则的两根均在区间．则有，即为，解得．因此，实数的取值范围是.故答案为：.13．设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______.【答案】③④【解析】对于①，可取，则，当时，；当时，，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，∴，都有解，故①错误；对于②，当时，由于对于任意,无解；时，，对任意的,至多有一个实数根，故②错误；对于③，当时，时，单调递减，可得；又时，，即有.可得，则的值域为，∴，都有解，故③正确；对于④，当时，时，递增，可得；当时，，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故④正确.故答案为：③④.14．若函数且满足对任意，都有，若，则函数在上的零点之和是______.【答案】5【解析】由，可得函数的图象关于对称，令得，作出函数在上的图象，如图所示，函数在上的零点即为函数的图象与函数的交点横坐标，由图可知，图象有、、、、，5个交点，其中和，和关于对称，设横坐标从小到大依次为，，，，，则.故答案为：5.三、解答题15．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）梯形的面积=，． 体积． （2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 当时，，为增函数；当时，，为减函数． ∴当时，体积V最大． （3）木梁的侧面积=，．=，． 设，．∵，∴当，即时，最大． 又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．16．设数列的前n项和为,已知,,.(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)∵∴，因为，所以可推出．故，即为等比数列．∵，公比为2∴，即，∵，当时，，也满足此式，∴；(2) 因为，∴，两式相减得:即，代入，得．令()，在成立，∴，为增函数，而，所以不存在正整数n使得成立．17．已知：，，且，（1）若，求的取值范围；（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）；（2）时，.【解析】（1）当时，,即,；当时，,此时无解.综上所述，；（2）当时，,解得,当时，当时，,当 时取得最大值.综上所述当 时取得最大值，.18．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表：月数…污染度…污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，，，其中表示月数，、、分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过．【答案】（1）选择作为模拟函数，理由见解析；（2）整治后个月的污染度不超过．【解析】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：月数…污染度…从上表可知，函数模拟比较合理，故选择作为模拟函数；（2）令，得，得，解得，所以，整治后个月的污染度不超过．19．若存在与正实数，使得成立，则称函数在处存在距离为的对称点，把具有这一性质的函数称之为“型函数”．（1）设，试问是否是“型函数”？若是，求出实数的值；若不是，请说明理由；（2）设对于任意都是“型函数”，求实数的取值范围．【答案】（1）是，；（2）.【解析】（1）假设函数是“型函数”，由定义得出，，由，得，则有，，化简得，解得.因此，函数是“型函数”；（2）对于任意都是“型函数”，则，即，化简得，即，由双勾函数的单调性可知，函数在上是增函数.当时，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.20．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析【解析】（1）解：由已知得，∴∴，又∵，曲线在点处的切线方程为：.（2）（ⅰ）令 ，∴，由得，；由得，易知，为极大值点，又时，当时，即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.由题意，只需满足，∴的取值范围是：（ⅱ）由题意知，，为函数 的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，只需证明，而，所以，只需证明.令，则∴.∵，∴，即所以，，即在上为增函数，所以，，∴成立.所以，.