专题3 一次函数和二次函数-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题3 一次函数和二次函数一、单选题1．已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，，令，则，因为，所以对称轴为，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D2．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．3．己知，，恒成立，则实数a的取值范围为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】设，对任意恒成立，即对任意都成立，当时，则即与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选B．4．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，取得最小值，，，，①当时，函数单调递增，，即 ，解得：，不成立；②当时，，即，解得：或，不成立；③当时，函数单调递减， 即 ，解得：，成立.综上可知：.故选：B5．已知函数f（x）＝x2﹣2x+k，若对于任意的实数x1，x2，x3，x4∈[1，2]时，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立，则实数k的取值范围为（    ）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）【答案】B【解析】由于 ，当，，对于任意的实数x1，x2，x3，x4∈[1，2]时，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立，即：即：故选：B6．设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】依题可得，，令，得，解得，所以，因为，，而由二次函数的对称性可知，，故．故选：D．7．定义在上的函数满足，，任意的，函数在区间上存在极值点，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，，所以是以4为周期的函数，，所以，求导得，令，，，由，知有一正一负的两个实根.又，根据在上存在极值点，得到在上有且只有一个正实根.从而有，即恒成立，又对任意，上述不等式组恒成立，进一步得到所以故满足要求的的取值范围为：.故选：C.8．已知 ,则的最值是(　　)A．最大值为3，最小值－1B．最大值为，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，又无最小值【答案】B【解析】如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.9．已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.二、多选题10．若存在实数，对任意的，不等式恒成立，则的值可以（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】不等式可化为，问题转化为：存在实数，使得在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，如图画出函数与函数的图象，由，得或（舍去），从而得，由二次函数的对称性知与图象的右边交点的横坐标为，故在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，所以实数的取值范围为．即选项ABC符合题意．故选:ABC.三、填空题11．若函数满足，则在上的最大值为_____________【答案】【解析】，，，，，所以，，当时，令，令，该二次函数在区间上单调递减，当时，取得最大值，即.因此，函数在区间上的最大值为.故答案为：.12．已知二次函数（是常数且）满足条件：，且方程有两相等实根.存在实数使的定义域和值域分别为和，则_______.【答案】【解析】二次函数，，且方程有两相等实根所以，得，所以，开口向下，对称轴为，因为的定义域和值域分别为和，所以①，单调递增，所以即，解得或，或，所以，.②，在取得最大值为，而值域为，所以得，所以不成立③，单调递减，所以，即，上式减下式，得，把代入上式得，整理得，无解所以不成立.综上所述，，，所以.故答案为：.13．已知，若函数有且只有三个零点，则实数的取值集合为________.【答案】【解析】，设，显然最多有2个不等实解，也可能是2个相等实根或无解．为，函数有且只有三个零点，则方程一定有两实根，其中一根，另一根．由，得，此时，的两根为和0，满足题意．∴．故答案为：．14．数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________.【答案】【解析】由，得，当时，，适合上式，．则．当时．故答案为． 四、解答题15．设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点，已知，.（1）若，求函数的准不动点；（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，可得，即，，．故当，函数的准不动点为．（2）由题意知，即在上有根，变形为，令，而在上单调递增，所以，即，所以．又在上恒成立，所以．令，而在上单调递减，所以，即有，综上，，即实数的取值范围为．16．中，，过顶点作的垂线，垂足为，，且满足.（1）求；（2）存在实数，使得向量，，令，求的最小值.【答案】（1）14;（2）516【解析】（1）由，得，，三点共线，可知.又，所以.在中，所以.所以.（2）由（1）知，，，.由余弦定理得.由，，知.由二次函数的图象，可知该函数在上单调递增，所以当时，取得最小值516.17．设函数，．（1）若，求t的取值范围；（2）求的最值，并写出取最值时对应的x的值．【答案】（1）（2）时，；时，【解析】（1），，，即．（2），令，，则，当即，时，．当即时，．18．已知函数，.（1）当时，求的解集；（2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）当时，不等式即：，，故原不等式的解集为 （2）对任意的，存在，不等式成立当， 当时，单调递增，又函数的对称轴为，当时：①若，即，则，即，此时 ②若，即，则，即，此时 综上可得实数的取值范围为19．已知函数（，且、）.设关于的不等式的解集为，且方程的两实根为、.（1）若，完成下列问题： ①求、的关系式；②若、都是负整数，求的解析式；（2）若，求证: .【答案】（1）①；②；（2）见解析.【解析】（1）①由，得，由已知得，由韦达定理得，，则，化简得，所以，、的关系式为；②，得，因为、均为负整数，则，且、，由可得，解得.，，当时，（舍）；当时，，合乎题意.综上所述，；（2）令，又，，则，又因为方程的两根为、，则，，，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：由图象可知，，所以，，因此，.