2021年高考数学一轮精选练习：68《离散型随机变量的均值与方差》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

68《离散型随机变量的均值与方差》

一         、选择题

1.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　 　)

A.100        B.200        C.300           D.400

2.随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列.若E(X)=，则D(X)的值是(　 　)

A.         B.            C.         D.

3.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　 　)

A.        B.    C.         D.

4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　 　)

A.       B.        C.       D.

5.设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，(　 　)

A.D(ξ)减小                  B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先减小后增大          D.D(ξ)先增大后减小

二         、填空题

6.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=        

7.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的.记应聘成功的人数为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E(ξ)的取值范围为           .

三         、解答题

8.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望.

9.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.

(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.

若E(η)=，D(η)=，求a∶b∶c.

10.某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20℃，需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代表最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的数学期望取得最大值？

11.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

答案解析

1.答案为：B；

解析：设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000,0.1)，且X=2ξ，

∴E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=2×1 000×0.1=200.

2.答案为：B；

解析：a＋b＋c=1.又∵2b=a＋c，

故b=，a＋c=.由E(X)=，得=－a＋c，故a=，c=.

D(X)=2×＋2×＋2×=.故选B.

3.答案为：C；

解析：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P(X=1)=p，发球次数为2即两次发球成功的概率为P(X=2)=p(1－p)，发球次数为3的概率为P(X=3)=(1－p)2，则期望E(X)=p＋2p(1－p)＋3(1－p)2=p2－3p＋3.依题意有E(X)>1.75，即p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义，可得0<p<.

4.答案为：B；

解析：依题意，知X的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2=.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=，P(X=4)=×=，P(X=6)=2=，故E(X)=2×＋4×＋6×=.

5.答案为：D；

解析：由题意得E(ξ)=0×＋1×＋2×=＋p，

D(ξ)=2·＋2·＋2·

=[(1＋2p)2(1－p)＋(1－2p)2＋(3－2p)2·p]=－p2＋p＋=－2＋.

由得0<p<1，

∴D(ξ)在上单调递增，在上单调递减，故选D.

一         、填空题

6.答案为：1.96；

解析：本题主要考查二项分布.由题意可知X～B(100，0.02)，

由二项分布可得DX=100×0.02×(1－0.02)=1.96.

7.答案为：（1.5,2.5）；

解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)==；

P(ξ=1)=×＋2×××=；

P(ξ=2)=2×××＋××=；P(ξ=3)=××=.

故ξ的分布列为

∴E(ξ)=0×＋1×＋2×＋3×=t＋，

由题意知P(ξ=2)－P(ξ=1)=>0，

P(ξ=2)－P(ξ=0)=>0，P(ξ=2)－P(ξ=3)=>0，

又0<t<2，∴1<t<2，∴<E(ξ)<，即E(ξ)的取值范围为（1.5,2.5）.

二         、解答题

8.解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，

送考2次的有100人，送考3次的有80人，

∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为=2.3.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，

另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，

“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，

“这两人送考次数相同”为事件D，

由题意知X的所有可能取值为0,1,2，

P(X=1)=P(A)＋P(B)=＋=，

P(X=2)=P(C)==，P(X=0)=P(D)==，

∴X的分布列为

E(X)=0×＋1×＋2×=.

9.解：(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6，

故P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，

P(ξ=4)==，P(ξ=5)==，P(ξ=6)==.

所以ξ的分布列为

(2)由题意知η的分布列为

所以E(η)=＋＋=，

D(η)=2·＋2·＋2·=，

化简得解得a=3c，b=2c，故a∶b∶c=3∶2∶1.

10.解：(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，

可知P(X=200)=P(A1)==，P(X=400)=P(A2)==，P(X=600)=P(A3)==，

故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为

(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)=2n≤400；

当200<n≤400时，

E(Y)=×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×n×2=n＋160∈(400,640]；

当400<n≤600时，

E(Y)=×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2=－n＋800∈[560,640)；

当n>600时，

E(Y)=×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]=1 760－2n<560，

所以当n=400时，Y的数学期望E(Y)取得最大值640.

11.解：(1)依题意，得

p1=P(40<X<80)==0.2，p2=P(80≤X≤120)==0.7，p3=P(X>120)==0.1.

由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

p=C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3=4＋4×3×=0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5 000，

E(Y)=5 000×1=5 000.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5 000－800=4 200，

因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2；

当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5 000×2=10 000，

因此P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2＋p3=0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)=4 200×0.2＋10 000×0.8=8 840.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y=5 000－1 600=3 400，因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5 000×2－800=9 200，因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y=5 000×3=15 000，因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)=3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1=8 620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.