2021高考数学大一轮复习考点规范练64离散型随机变量的均值与方差理新人教A版

考点规范练64　离散型随机变量的均值与方差

　考点规范练B册第48页　 

基础巩固

1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　)

A B.4 C.-1 D.1

答案:A

解析:∵E(X)=-=-,

∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=

2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=(　　)

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

答案:D

解析:设A,B两城市受台风袭击的概率均为p,

则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,

解得p=0.2或p=1.8(舍去),

P(X=0)=1-0.36=0.64,

P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,

P(X=2)=0.2×0.2=0.04,

故E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4,故选D.

3.已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2,若0<p1<p2<,则(　　)

A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)

B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)

C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)

D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)

答案:A

解析:∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).

∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),

∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故选A.

4.(2019浙江,7)设0<a<1.随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时,(　　)

A.D(X)增大  B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大

答案:D

解析:由分布列得E(X)=,则D(X)=-02+-a2+-12a-2+,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.

5.(2019广东潮州高三二模)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为(　　)

A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21

答案:B

解析:P(90≤X≤110)==0.3,X~B(10,0.3),D(X)=10×0.3×0.7=2.1.

6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为　　　　　. 

答案:200

解析:记不发芽的种子数为Y,则Y~B(1000,0.1),

∴E(Y)=1000×0.1=100.

又X=2Y,∴E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.

7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=　　　　　. 

答案:

解析:由题意可知取到次品的概率为,则X~B,

故D(X)=3

8.生产A,B两种元件,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:

(1)试分别估计元件A、元件B为正品的概率;

(2)生产1件元件A,若是正品,则可盈利40元;若是次品,则亏损5元;生产1件元件B,若是正品,则可盈利50元;若是次品,则亏损10元.在(1)的前提下.

①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和均值;

②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.

解:(1)元件A为正品的概率约为元件B为正品的概率约为

(2)①∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.

∴随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.

∵P(X=90)=,

P(X=45)=,

P(X=30)=,

P(X=-15)=

∴随机变量X的分布列为

E(X)=90+45+30+(-15)=66.

②设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有(5-n)件.

依题意得50n-10(5-n)≥140,解得n,故n=4或n=5.

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件M,

则P(M)=

9.有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.

解:E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,

D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;

E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,

D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.

由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.

10.(2019广东潮州高三二模)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n,如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,

第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,

这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,

P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=

所以这批产品通过检验的概率为

(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-,P(X=500)=,P(X=800)=

所以X的分布列为

所以E(X)=400+500+800=506.25.

能力提升

11.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“?”表示服药者,“+”表示未服药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;

(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);

(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

解:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.

(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.

所以ξ的所有可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)=,

P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=

所以ξ的分布列为

故ξ的期望E(ξ)=0+1+2=1.

(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.

高考预测

12.(2019云南玉溪高三五调)某市在2018年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120,25).现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析,结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间,现将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计该校数学成绩的平均分数;

(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期望.

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,

P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.

解:(1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1-(0.010×10+0.024×10+0.030×10+0.016×10+0.008×10)=0.12.

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112.

(2)由于=0.0013,根据正态分布得P(120-3×5<X<120+3×5)=0.9974.

故P(X≥135)==0.0013,即0.0013×10000=13.

所以前13名的成绩全部在135分以上.

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08=4(人),而在[125,145]的学生有50×(0.12+0.08)=10.

所以X的取值为0,1,2,3.

所以P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=

所以X的分布列为

E(X)=0+1+2+3=1.2.