高三数学一轮复习： 第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差

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1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差：称D(X)＝eq \(∑,\s\up13(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A.eq \f(7,3) B.4
C．－1 D.1
A [E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－eq \f(2,3)＝eq \f(7,3).]
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于( )
A．8 B.5
C．10 D.12
A [∵E(ξ)＝eq \f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
∴D(ξ)＝eq \f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]
4．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
eq \f(3,2) [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4).
又X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,4)))，
∴成功次数X的均值E(X)＝2×eq \f(3,4)＝eq \f(3,2).]
5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)＝________.
eq \f(3,1 024) [∵E(X)＝np＝6，
D(X)＝np(1－p)＝3，
∴p＝eq \f(1,2)，n＝12，
则P(X＝1)＝Ceq \\al(1,12)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))11＝3×2－10＝eq \f(3,1 024).]
(2017·成都诊断)某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图10­9­1所示．
图10­9­1
活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为1的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．
(1)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；
(2)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望和方差.
【导学号：01772423】
[解] (1)设一次抽奖抽中i等奖的概率为Pi(i＝1,2)，没有中奖的概率为P0，
则P1＋P2＝eq \f(3,20)＋eq \f(5,20)＝eq \f(2,5)，即中奖的概率为eq \f(2,5)，
∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为P＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(12,25).5分
(2)X的可能取值为0,50,100,150,200.
∵P(X＝0)＝eq \f(9,25)，
P(X＝50)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(5,20)×eq \f(3,5)＝eq \f(3,10)，
P(X＝100)＝eq \f(5,20)×eq \f(5,20)＋Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,20)×eq \f(3,5)＝eq \f(97,400)，
P(X＝150)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(3,20)×eq \f(5,20)＝eq \f(3,40)，
P(X＝200)＝eq \f(3,20)×eq \f(3,20)＝eq \f(9,400)，8分
∴X的分布列为
∴数学期望为E(X)＝0×eq \f(9,25)＋50×eq \f(3,10)＋100×eq \f(97,400)＋150×eq \f(3,40)＋200×eq \f(9,400)＝55(元).12分
∴方差D(X)＝(0－55)2×eq \f(9,25)＋(50－55)2×eq \f(3,10)＋(100－55)2×eq \f(97,400)＋(150－55)2×eq \f(3,40)＋(200－55)2×eq \f(9,400)＝2 737.5.
[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
[变式训练1] (2015·陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
(1)求T的分布列与数学期望E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
[解] (1)由统计结果可得T的频率分布为
2分
以频率估计概率得T的分布列为
4分
从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).6分
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.8分
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝分
法二：P(eq \x\t(A))＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)
＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝分
(2017·长郡中学联考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
【导学号：01772424】
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．
[解] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A1 eq \x\t(A2)与eq \x\t(A1)A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq \x\t(A2)＋eq \x\t(A1)A2，C＝B1＋B2.2分
因为P(A1)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,5)，
P(B2)＝P(A1eq \x\t(A2)＋eq \x\t(A1)A2)＝P(A1eq \x\t(A2))＋P(eq \x\t(A1)A2)
＝P(A1)P(eq \x\t(A2))＋P(eq \x\t(A1))P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).4分
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,10).6分
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq \f(1,5)，所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5))).
于是P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))1＝eq \f(12,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125).8分
故X的分布列为
10分
X的数学期望为E(X)＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5).
随机变量X的方差D(X)＝3×eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(12,25).12分
[规律方法] 1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)．同样还可求出D(aξ＋b)．
[变式训练2] (2017·郑州诊断)空气质量指数(Air Quality lndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2015年某地某月10天的AQI的茎叶图如图10­9­2所示．
图10­9­2
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)
(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．
[解] (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，3分
从而估计该月空气质量优良的天数为30×eq \f(3,5)＝18.5分
(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为eq \f(3,5)，
ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＝eq \f(36,125)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2eq \f(2,5)＝eq \f(54,125)，P(ξ＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125).8分
故ξ的分布列为
显然ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,5)))，E(ξ)＝3×eq \f(3,5)＝1.8，随机变量ξ的方差D(ξ)＝3×eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(18,25).12分
有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：
其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量.
【导学号：01772425】
[解] 由题意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，
E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.
又D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，
D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，
所以E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＜D(X乙)，故甲种棉花的质量较好．
[规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差．
2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．
[变式训练3] 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)和eq \f(1,15).
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[解] 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
2分
所以E(X1)＝300×eq \f(7,9)＋(－150)×eq \f(2,9)＝200(万元).4分
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为
6分
所以E(X2)＝500×eq \f(3,5)＋(－300)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,15)＝200(万元).8分
D(X1)＝(300－200)2×eq \f(7,9)＋(－150－200)2×eq \f(2,9)
＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×eq \f(3,5)＋(－300－200)2×eq \f(1,3)＋(0－200)2×eq \f(1,15)＝140 000.10分
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.12分
[思想与方法]
求离散型随机变量的均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．
(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．
[易错与防范]
1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．
2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错易混．
3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
均值
方差
变量X服从两点分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p)
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
离散型随机变量的均值、方差
X
0
50
100
150
200
P
eq \f(9,25)
eq \f(3,10)
eq \f(97,400)
eq \f(3,40)
eq \f(9,400)
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
与二项分布有关的均值、方差
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(8,125)
eq \f(36,125)
eq \f(54,125)
eq \f(27,125)
均值与方差在决策中的应用
X甲
28
29
30
31
32
P
0.1
0.15
0.5
0.15
0.1
X乙
28
29
30
31
32
P
0.13
0.17
0.4
0.17
0.13
X1
300
－150
P
eq \f(7,9)
eq \f(2,9)
X2
500
－300
0
P
eq \f(3,5)
eq \f(1,3)
eq \f(1,15)