2021年高考数学一轮精选练习：71《绝对值不等式》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

71《绝对值不等式》

1.已知函数f(x)=|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

2.已知函数f(x)=|x＋1|＋|x－3|.

(1)若关于x的不等式f(x)<a有解，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为，求a＋b的值.

3.已知函数f(x)=|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)=x2－2x－4＋.

(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；

(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围.

4.已知函数f(x)=|x－2|.

(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；

(2)若函数g(x)=－f(2x)－a的图象在上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围.

5.已知函数f(x)=|2x－a|＋a.

(1)当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)=|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.

6.已知函数f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|.

(1)解不等式f(x)≥6；

(2)记f(x)的最小值是m，正实数a，b满足2ab＋a＋2b=m，求a＋2b的最小值.

7.已知函数f(x)=(m∈R)，g(x)=|x＋1|，且不等式g＋≤3的解集为[－2,3].

(1)求实数m的值；

(2)若存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)成立，求实数T的取值范围.

8.已知函数f(x)=|2x－a|＋|2x＋1|.

(1)当a=1时，求f(x)≤2的解集；

(2)若g(x)=4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.

答案解析

1.解：(1)当a=1时，f(x)>1化为

|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得，f(x)=

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为

A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.

由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).

2.解：

(1)不等式等价于a>f(x)min，f(x)=

绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，

可得实数a的取值范围是(4，＋∞).

(2)由题意可得x=是方程|x＋1|＋|x－3|=a的解，

据此有a=＋=5，

求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得：－<x<.

故b=－，a＋b=5－=.

3.解：(1)∵f(2a2－1)>4|a－1|，

∴|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，

∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)>0，

∴|2a|＋|a＋1|>4且a≠1.

①若a≤－1，则－2a－a－1>4，∴a<－；

②若－1<a<0，则－2a＋a＋1>4，

∴a<－3，此时无解；

③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1>4，∴a>1.

综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞).

(2)∵g(x)=(x－1)2＋－5≥2－5=－1，显然可取等号，

∴g(x)min=－1.

于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.

又f(x)=|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|=(a－1)2，

∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，

∴0≤a≤2，即a∈[0,2].

4.解：(1)由f(x)≤5－|x－1|，

得|x－1|＋|x－2|≤5，

所以或或

解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].

(2)设h(x)=－f(2x)=－|2x－2|=

当<x<1时，h(x)=＋2x－2≥2－2=2－2，

当且仅当=2x即x=时取等号，所以h(x)min=2－2.

当x≥1时，h(x)=－2x＋2递减，

画出函数h(x)的草图，如下：

原问题等价于h(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点，

结合h(x)的图象可得，a∈(2－2,1).

5.解：(1)当a=2时，f(x)=|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.

(2)当x∈R时，

f(x)＋g(x)=|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a=|1－a|＋a，

当x=时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.

当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，

解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞).

6.解：(1)当x≤－时，f(x)=－2－4x，

由f(x)≥6，解得x≤－2；

当－<x<时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立；

当x≥时，f(x)=4x＋2，由f(x)≥6解得x≥1.

∴f(x)≥6的解集是{x|x≤－2或x≥1}.

(2)f(x)=|2x－1|＋|2x＋3|≥|(2x－1)－(2x＋3)|=4，

即f(x)的最小值为4，则m=4.

∵a·2b≤2，

∴由2ab＋a＋2b=4可得4－(a＋2b)≤2，

解得a＋2b≥2－2(当且仅当a=2b时等号成立)，

∴a＋2b的最小值为2－2.

7.解：

(1)由不等式g＋≤3，可得|2x－m|＋m≤6，得|2x－m|≤6－m，

∴m－6≤2x－m≤6－m，即m－3≤x≤3，

∴m－3=－2，∴m=1.

(2)由(1)知f(x)=，则存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)，

可转化为存在实数k，使得|2k－1|＋|2k＋1|＋2≤T，

设h(k)=|2k－1|＋|2k＋1|＋2，

则h(k)=

数形结合知函数h(k)的最小值是4，故实数T的取值范围为[4，＋∞).

8.解：

(1)当a=1时，f(x)=.

当x<－时，f(x)≤2无解；

当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}；

当x>时，f(x)≤2无解.

综上所述，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}.

(2)当x∈时，f(x)=(a－2x)＋(2x＋1)=a＋1，

所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x).

又g(x)=4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，

则，即，即－≤a≤2.

又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1,2].