2021年高考数学一轮精选练习：54《直线与圆锥曲线》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

54《直线与圆锥曲线》

一         、选择题

1.直线y=x＋3与双曲线－=1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　 　)

A.1          B.2          C.1或2         D.0

2.已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　 　)

A.y=x－1      B.y=－2x＋5    C.y=－x＋3     D.y=2x－3

3.已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　 　)

A.       B.     C.      D.

4.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　 　)

A.         B.          C.          D.

5.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　 　)

A.3         B.2        C.－2         D.－3

6.已知双曲线－y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　　)

A.4         B.3           C.          D.2

7.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D，E，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　 　)

A.(，)     B.(，＋∞)     C.(，2)        D.(1，)

8.已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(　 　)

A.4x＋y－1=0            B.2x＋y=0

C.2x＋8y＋7=0          D.x＋4y＋3=0

9.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|=3，则△BCF与△ACF的面积之比=(　 　)

A.         B.          C.            D.

10.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y=ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x＋m对称，且x1x2=－，则m的值为(　　)

A.          B.            C.2           D.3

二         、填空题

11.已知直线y=2x＋2与抛物线y=ax2(a＞0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|A＋A|=|A－A|，则a=       .

12.设P为双曲线－=1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为         .

13.设抛物线C：y2=2px(p＞0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|=     .

三         、解答题

14.已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设F为E的左焦点，点D在直线x=－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点.证明：直线OD平分线段MN.

15.设椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程.

16.已知椭圆Γ：＋=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点.

(1)若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；

(2)若直线l1与l2的斜率都存在，记λ=，求λ的取值范围.

答案解析

1.答案为：A；

解析：由直线y=x＋3与双曲线－=1的渐近线y=x平行，

故直线与双曲线的交点个数是1.

2.答案为：D；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y=4(x1－x2)，

由题可知x1≠x2.∴===2，即kAB=2，

∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，即2x－y－3=0.故选D.

3.答案为：D；

解析：由题意知k＞0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5=0，

因为直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，

则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以

解得1＜k＜，即k∈，故选D.

4.答案为：D；

解析：易知p=4，直线AB的斜率存在，抛物线方程为y2=8x，与直线AB的方程y－3=k(x＋2)联立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24=0，由题意知Δ=64－4k(16k＋24)=0，解得k=－2或k=.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k=－2，故k=，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF==，故选D.

5.答案为：D；

解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，

与抛物线方程y2=2px联立得得即A，

则直线AB的方程为y－p=6，

即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得

得或所以B，

所以直线OB的斜率为kOB==－3.故选D.

6.答案为：D；

解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p=4，所以抛物线方程为y2=8x，又因为直线y=kx＋m与抛物线相交于A，B两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx＋m)2=8x⇒k2x2＋(2km－8)x＋m2=0，∴x1＋x2=，x1x2=.

又因为M(2,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2==4，且2=2k＋m，

联立解得k=2，m=－2.|AB|=|x1－x2|=·=2.

O到AB的距离d=.∴S△AOB=×2×=2.

7.答案为：B；

解析：由题意知，直线l：y=－(x－c)，由

得x2＋x－=0，由x1x2=＜0，得b4＞a4，

所以b2=c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞.

8.答案为：C；

解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有两式相减得=，即=×.

又线段AB的中点坐标是，

因此x1＋x2=2×=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，=－，=－，

即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1=－，即2x＋8y＋7=0.

9.答案为：D；

解析：不妨设点A在第一象限，B在第四象限，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为x=my＋.由y2=4x得p=2，因为|BF|=3=x2＋=x2＋1，

所以x2=2，则y=4x2=4×2=8，所以y2=－2，

由得y2－4my－4=0，

由根与系数的关系，得y1y2=－4，所以y1=，由y=4x1，得x1=.

过点A作AA′垂直于准线x=－1，垂足为A′，

过点B作BB′垂直于准线x=－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，

所以==.

又|BB′|=|BF|=3，|AA′|=x1＋=＋1=，所以==.故选D.

10.答案为：A；

解析：由双曲线的定义知2a=4，得a=2，所以抛物线的方程为y=2x2.

因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=2x2上，所以y1=2x，y2=2x，

两式相减得y1－y2=2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1＜x2，

又A，B关于直线y=x＋m对称，

所以=－1，故x1＋x2=－，而 x1x2=－，解得x1=－1，x2=，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，

则x0==－，y0===，因为中点M在直线y=x＋m上，

所以=－＋m，解得m=.

一         、填空题

11.答案为：2；

解析：由得ax2－2x－2=0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=－，

设PQ的中点为M，则xM=xA=，yA=ax=，

由|A＋A|=|A－A|可得A·A=0，即AP⊥AQ，

又M是线段PQ的中点，∴2|AM|=|PQ|，由于MA⊥x轴，

∴|MA|==＋2，

又|PQ|=|x1－x2|=·=·，

∴42=5，解得a=2，此时满足Δ＞0成立.故a=2.

12.答案为：15；

解析：设P(x0，y0)(不妨设P在第一象限)，A在第一象限，

直线PA的方程为y－y0=－(x－x0)，直线OA方程为y=x，联立解得xA=，

又P到渐近线OA的距离为d=，

又tan∠xOA=，所以cos∠xOA=.所以平行四边形PAOB的面积为

S=2S△OPA=|OA|·d==×|6y0＋5x0|×=15.

13.答案为：0；

解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，

易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x，

得－y－=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2=－p2，

根据弦长公式，|FP|·|FQ|=·|y1|··|y2|=|y1y2|=p2，

而|OA|·|OB|=·=p2，

所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|=0.

二         、解答题

14.解：(1)由题意得解得

故椭圆E的方程为＋=1.

(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，

线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，

则直线DF的斜率为kDF==－，

当n=0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.

当n≠0时，直线MN的斜率kMN==.

∵点M，N在椭圆上，∴

整理得：＋=0，

又2x0=x1＋x2,2y0=y1＋y2，∴=－，直线OP的斜率为kOP=－，

∵直线OD的斜率为kOD=－，

∴直线OD平分线段MN.

15.解：(1)设F的坐标为(－c,0).

依题意，=，=a，a－c=，解得a=1，c=，p=2，

于是b2=a2－c2=.所以，椭圆的方程为x2＋=1，

抛物线的方程为y2=4x.

(2)设直线AP的方程为x=my＋1(m≠0)，与直线l的方程x=－1联立，

可得点P，故Q.

将x=my＋1与x2＋=1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my=0，

解得y=0或y=.

由点B异于点A，可得点B.由Q，

可得直线BQ的方程为(x＋1)－=0，

令y=0，解得x=，故D.

所以|AD|=1－=.又因为△APD的面积为，

故××=，整理得3m2－2|m|＋2=0，

解得|m|=，所以m=±.

所以，直线AP的方程为3x＋y－3=0或3x－y－3=0.

16.解：(1)解法一(点差法)：

由题意可知直线AB的斜率存在.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

两式作差得=－·=－·=－，

∴直线AB的方程为y－1=－(x－1)，即x＋2y－3=0.

解法二：由题意可知直线AB的斜率存在.

设直线AB的斜率为k，

则其方程为y－1=k(x－1)，代入x2＋2y2=4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4=0.

∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4=0.

Δ=[－4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4]

=8(3k2＋2k＋1)＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

∵AB中点为(1,1)，∴(x1＋x2)==1，则k=－.

∴直线AB的方程为y－1=－(x－1)，即x＋2y－3=0.

(2)由(1)可知|AB|= |x1－x2|

=·=.

设直线CD的方程为y－1=－k(x－1)(k≠0).

同理可得|CD|=.

∴λ== (k≠0)，λ＞0.

∴λ2=1＋=1＋.令t=3k＋，

则t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，

令g(t)=1＋，t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)，

∵g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上单调递减，

∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋.

故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋.

∴λ∈∪.