2021年高考数学一轮精选练习：42《直线、平面垂直的判定及其性质》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

42《直线、平面垂直的判定及其性质》

一         、选择题

1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　 　)

A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

2.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是(　　)

A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

C.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β

D.若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β

3.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=直线l，则(　 　)

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

4.在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　 　)

5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　 　)

A.        B.1        C.         D.2

6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　 　)

A.AG⊥平面EFH        B.AH⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF        D.HG⊥平面AEF

7.如图所示，直线PA垂直于⊙O所成的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　 　)

A.①②      B.①②③          C.①        D.②③

8.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是(　   )

A.1          B.2         C.3          D.4

9.如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是(　 　)

A.平面BCE⊥平面ABN       B.MC⊥AN

C.平面CMN⊥平面AMN       D.平面BDE∥平面AMN

二         、填空题

10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　     　时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

11.α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：

①AC⊥β；

②AC与α，β所成的角相等；

③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；

④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是　   　.

12.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：

①三棱锥A-D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是　    　.

三         、解答题

13.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.

14.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB=BC，AC=2，AA1=.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥平面A1BM；

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？

如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

答案解析

1.答案为：B；

解析：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误，故选B.

2.答案为：C；

解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则α⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；

对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，

又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；

对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；

对于D，若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C.

3.答案为：D；

解析：对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误.D正确.

4.答案为：D；

解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.

5.答案为：A；

解析：设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.

又2×=h，所以h=，DE=.

在Rt△DB1E中，B1E= =.

由面积相等得× =x，得x=.

6.答案为：B；

解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，

又HE∩HF=H，∴AH⊥平面EFH，B正确.

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.

∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH=G，∴EF⊥平面HAG，

又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，

一定在平面HAG内，∴C不正确.

由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.

7.答案为：B；

解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.

8.答案为：B；

解析：画出该几何体，如图所示，

①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，

直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；

②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；

③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，

因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；

④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.

所以正确结论的个数是2.

9.答案为：C；

解析：如图，分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，

连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体.

∴BC⊥平面ABN，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；

连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，

∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC.

∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，

∴AF⊥MN，CF⊥MN，

∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，

∵AF=CF=，AC=，∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠，

∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；

∵DE∥AN，MN∥BD，

DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，MN∩AN=N，MN，AN⊂平面AMN，

∴平面BDE∥平面AMN，故D正确.故选C.

一         、填空题

10.答案为：DM⊥PC(或BM⊥PC)；

解析：∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

11.答案为：①③；

解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.

①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，

又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，

∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；

②不能得到BD⊥EF，故②错误；

③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，

又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.

∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β=EF，

∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥EF，故③正确；

④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，

则EF⊥AC，故④错误，故填①③.

12.答案为：①②④；

解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，

所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，

所以三棱锥P-AD1C的体积不变.

又因为V三棱锥P-AD1C=V三棱锥A-D1PC，所以①正确；

因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，

所以A1P∥平面ACD1，②正确；

由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直BC1，故③不正确；

由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1=D1，所以DB1⊥平面AD1C.

又因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确.

二         、解答题

13.解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.

因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.

因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，

所以DM⊥CM.

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC.

而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC交BD于O，如图.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.

连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.

MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，

所以MC∥平面PBD.

14.证明：(1)因为PA=PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG=BC.

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE=BC.

所以DE∥FG，DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

15.解：(1)证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，如图所示.

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

(2)证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，

∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.

∵AC=2，∴AM=1.

又∵AA1=，

∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C=tan∠A1MA=，

∴∠AC1C=∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC=∠A1MA＋∠C1AC=90°，

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M=M，BM，A1M⊂平面A1BM，

∴AC1⊥平面A1BM.

(3)当点N为BB1的中点，即=时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

证明如下：

设AC1的中点为D，连接DM，DN.

∵D，M分别为AC1，AC的中点，

∴DM∥CC1，且DM=CC1.

又∵N为BB1的中点，

∴DM∥BN，且DM=BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，

∴DN⊥平面AA1C1C.

又∵DN⊂平面AC1N，

∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.