高考数学一轮复习第七章第五节直线平面垂直的判定及其性质课时作业理含解析北师大版

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质

授课提示：对应学生用书第347页

[A组　基础保分练]

1．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（　　）

A．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β

B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n

C．若α∥β，mα，nβ，则m∥n

D．若α⊥β，mα，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

解析：根据线面垂直的判定可知，当m⊥α，m∥n，nβ时可得n⊥α，则α⊥β，所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥β，故m∥n，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若α⊥β，mα，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β，所以D不符合题意．

答案：C

2．（2021·贵阳监测）如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PCA，又AP平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明；D中，由A知D能证明；B中条件不能判断出AP⊥BC．

答案：B

3．（2021·石家庄模拟）若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（　　）

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：因为l∥α，m⊥α，所以l⊥m成立；当l⊥m，m⊥α时，l∥α或lα．所以“l∥α”是“l⊥m”的充分不必要条件．

答案：A

4．（2020·黑龙江鹤岗模拟）如图，在三棱锥V­ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．AC＝BC

B．AB⊥VC

C．VC⊥VD

D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO

解析：因为VO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以VO⊥AB．因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB．又因为VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD．又因为CD平面VCD，所以AB⊥CD．又因为AD＝BD，所以AC＝BC，故A正确．

又因为VC平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；

因为S△VCD＝VO·CD，S△ABC＝AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD．

答案：C

5．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（　　）

A．当k＝时，平面BPC⊥平面PCD

B．当k＝时，平面APD⊥平面PCD

C．对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直

D．存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直

解析：当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）．由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM．又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC．又DN⊂平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD．

答案：A

6．如图，在正方形ABCD中，点M 为边AD（端点除外）上一动点，将△ABM沿BM所在直线翻折至△A′BM，并连接A′C，A′D，则下列情况可能成立的是（　　）

A．BA′⊥平面A′DM  B．BA′⊥平面A′CD

C．BC⊥A′B  D．MA′⊥平面A′BC

解析：连接BD（图略），令AB＝1，则BD＝．若选项A成立，则BA′⊥A′D，所以A′D＝1，此时A′M＋MD＝1，这与A′M＋MD＞A′D矛盾，因此选项A不成立；若选项B成立，则BA′⊥A′C，所以在Rt△BA′C中，BC＞BA′，这与BC＝BA′＝1矛盾，因此选项B不成立；若选项C成立，则BC为A′B与CD的公垂线段，则可得BC＝1＜A′D．但A′M＋MD＝1＞A′D，这与BC＝1＜A′D矛盾，因此选项C不成立；当MA′⊥MD时，由MD∥BC可得MA′⊥BC，又MA′⊥A′B，可得MA′⊥平面A′BC，故选项D有可能成立．

答案：D

7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　　　　时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

解析：由定理可知，BD⊥PC．

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，就有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD．

答案：DM⊥PC（或BM⊥PC等）

8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A­OEF，连接AH，则在四面体A­OEF中，下列结论不正确的是_________．（写出所有不正确结论的序号）

①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO⊥EF；④AF⊥OE；⑤平面AOE⊥平面AOF．

解析：易知OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF平面EOF，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；∵OE平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确．故答案为②．

答案：②

9．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．

（1）求证：BF∥平面ADP；

（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．

证明：（1）如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，

因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，

因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，

FG∥CD，因为CD∥AB，AB＝2PE，

所以AB∥FG，AB＝FG，

即四边形ABFG是平行四边形，

所以BF∥AG，

又BF平面ADP，AG平面ADP，

所以BF∥平面ADP．

（2）延长AO交CD于点M，连接BM，FM，

因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，

所以ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE．

所以FM∥PD，因为PD⊥平面ABCD，

所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，

因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，

所以BD⊥平面AOF．

[B组　能力提升练]

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4．

（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P­ABCD的体积．

解析：（1）证明：∵在△ABD中，AD＝4，BD＝8，AB＝4，

∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，

∴平面MBD⊥平面PAD．

（2）如图，过点P作PO⊥AD于点O．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD．

即PO为四棱锥P­ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2．

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．

由（1）知，在Rt△ADB中，斜边AB上的高为＝（等面积法），

也是梯形的高，∴S梯形ABCD＝×＝24．

∴VP­ABCD＝×24×2＝16．

2．（2021·南昌模拟）如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；

（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M­EFG的体积．

解析：（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，且CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD．

在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，

所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD．

因为EF平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD．

（2）因为EF∥CD，EF平面EFG，CD平面EFG，

所以CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，连接DF，DG，如图，

V三棱锥M­EFG＝V三棱锥D­EFG．

取AD的中点H，连接GH，EH，FH，则EF∥GH，

因为EF⊥平面PAD，EH平面PAD，

所以EF⊥EH．

于是S△EFH＝EF×EH＝2＝S△EFG．

平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，

且易知△EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为．

所以三棱锥M­EFG的体积V三棱锥M­EFG＝V三棱锥D­EFG＝×S△EFG×＝．

[C组　创新应用练]

1．（2021·泉州模拟）如图，一张A4纸的长，宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是_________．（写出所有正确命题的序号）

①该多面体是三棱锥；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④该多面体外接球的表面积为5πa2．

解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；因为AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，所以AP⊥平面BCD，又因为AP平面ABD，所以平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④．

答案：①②③④

2．（2021·洛阳模拟）如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且AE⊥BD．

（1）证明：平面EBD⊥平面EAD；

（2）若△EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离．

解析：（1）证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，

所以DM＝CB＝AD＝AB，

即点D在以线段AB为直径的圆上，

所以BD⊥AD，

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，

所以BD⊥平面EAD．

因为BD平面EBD，

所以平面EBD⊥平面EAD．

（2）因为BD⊥平面EAD，且BD平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面EAD．

因为等边△EAD的面积为，

所以AD＝AE＝ED＝2，

即AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝，

因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，

所以EO⊥平面ABCD．

由（1）知△ABD，△EBD都是直角三角形，

所以BD＝＝2，

S△EBD＝ED·BD＝2，

设点C到平面EBD的距离为h，

由VC­EBD＝VE­BCD，

得S△EBD·h＝S△BCD·EO，

又S△BCD＝BC·CDsin 120°＝，所以h＝．

所以点C到平面EBD的距离为．