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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第15章第1讲光的折射、全反射
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第十五章光 电磁波 相对论简介
高考地位
高考对光的知识的考查主要以选择题和计算题为主，实验题和光路作图题的考查频率也很高。试题的难度中等，分值在10分左右。高考对电磁波及相对论简介的考查以识记和理解为主，题型以选择题或填空题形式出现，试题难度不大，分值在5分左右。
考纲下载
1.光的折射定律(Ⅱ)
2．折射率(Ⅰ)
3.全反射、光导纤维(Ⅰ)
4.光的干涉、衍射和偏振现象(Ⅰ)
5．电磁波的产生(Ⅰ)
6．电磁波的发射、传播和接收(Ⅰ)
7．电磁波谱(Ⅰ)
8．狭义相对论的基本假设(Ⅰ)
9．质能关系(Ⅰ)
实验二：测定玻璃的折射率
实验三：用双缝干涉测光的波长
考纲解读
1.考查对光的折射定律的理解与应用。
2．考查全反射现象及其分析。
3．考查光的干涉条件，干涉条纹的分析以及对衍射、偏振等现象的理解。
4．考查折射率、波长的测量。
5．考查对麦克斯韦的两个基本假设和电磁波概念的理解。
6．理解电磁波谱的组成以及各波段电磁波的性质、传播特点与用途。
7．理解狭义相对论的基本假设，并能应用其处理简单的实际问题。
8．理解质能关系公式，并能进行简单计算。
第1讲 光的折射、全反射
主干梳理 对点激活
知识点 光的折射定律 Ⅱ
折射率 Ⅰ
1．折射现象
光从一种介质斜射进入另一种介质时传播方向改变的现象。
2．折射定律
(1)内容：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。
(2)表达式：＝n12，式中n12是比例常数。
(3)在光的折射现象中，光路是可逆的。
3．折射率
(1)定义：光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦的比，叫做这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示。
(2)物理意义：折射率仅反映介质的光学特性，折射率大，说明光从真空射入到该介质时偏折大，反之偏折小。
(3)定义式：n＝，不能说n与sinθ1成正比、与sinθ2成反比，对于确定的某种介质而言，入射角的正弦与折射角的正弦成正比。折射率由介质本身的光学性质和光的频率决定。
(4)光在不同介质中的速度不同，某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度c与光在这种介质中的传播速度v之比，即n＝，因v
4．光密介质与光疏介质
(1)光密介质：折射率较大的介质。
(2)光疏介质：折射率较小的介质。
(3)光密介质和光疏介质是相对的。某种介质相对其他不同介质可能是光密介质，也可能是光疏介质。
知识点 全反射、光导纤维 Ⅰ
1．全反射
(1)条件：①光从光密介质射入光疏介质。
②入射角大于或等于临界角。
(2)现象：折射光完全消失，只剩下反射光。
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角，用C表示，sinC＝。
(4)应用：①光导纤维；②全反射棱镜。
2．光的色散
(1)光的色散现象：含有多种颜色的光被分解为单色光的现象。
(2)色散规律：白光是由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种色光组成的，折射率依次增大，红光的最小，紫光的最大，当一束白光入射到棱镜界面时，七种色光以相同的入射角射到棱镜界面，各种色光的折射角不同，红光偏折得最小，紫光偏折得最大；当它们从另一个界面射出时，仍然是紫光的偏折最大，红光的偏折最小。
(3)光的色散现象说明
①白光为复色光；
②同一介质对不同色光的折射率不同，频率越大的色光折射率越大；
③不同色光在同一介质中的传播速度不同，根据n＝，频率越大，折射率越大，则波速越小。
(4)光的色散的种类
除光的折射时的色散，还有光的干涉时的色散、光的衍射时的色散，详情见下一讲内容。
知识点 实验：用插针法测定玻璃的折射率
1．实验原理
如图所示，用插针法确定入射角和折射角，根据n＝计算玻璃折射率。
2．实验器材
两侧面平行的玻璃砖、白纸、木板、大头针、图钉、量角器、刻度尺、铅笔。
3．实验步骤
(1)把白纸用图钉钉在木板上。
(2)用刻度尺在纸面上作一条直线aa′，过aa′上一点O作垂直于aa′的线段NN′，再过O点作一条线段AO，并使∠NOA即θ1适当大些。
(3)在AO线上竖直地插两枚大头针P1、P2，并使间距适当大些，在白纸上沿直线aa′放上被测玻璃砖。
(4)沿玻璃砖的另一个侧面再作一条直线bb′。
(5)在玻璃砖的bb′一侧白纸上竖直地插一枚大头针P3，使P3恰好能同时挡住aa′一侧所插的大头针P2、P1的像。接着，在玻璃砖的bb′一侧再竖直地插一枚大头针P4，使P4能挡住P3本身以及P1、P2的像。
(6)标记下P1、P2、P3、P4的位置，移去玻璃砖，拔去大头针，过P3、P4作一条直线O′B，交bb′于O′点，连接OO′就是入射光线AO在玻璃砖内的折射光线，折射角为θ2。
(7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，记入表格内。
(8)用上述方法分别测出入射角是15°、30°、45°、60°和75°时的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，记入表格里。算出各不同入射角时的值，求出它们的平均值，就是这块玻璃的折射率。
4．注意事项
(1)实验时，将大头针尽可能竖直地插在纸板上，并且使P1与P2之间、P3与P4之间距离适当大一些，这样可以减小确定光路方向时出现的误差。
(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角不宜太大，太大会导致反射光太强、折射光太弱，不易确定P3、P4的位置。
(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁光学面，更不能把玻璃砖当尺子画界线。
(4)在实验过程中，玻璃砖与白纸的相对位置不能改变。
一 堵点疏通
1．折射率的大小由介质本身和光的频率共同决定，与入射角、折射角的大小无关。( )
2．光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质。( )
3．我国使用的宽带光纤通信网络利用了光的衍射原理。( )
4．光由一种介质进入另一种介质时，光的频率不变。( )
5．不同颜色的光在真空中的传播速度都相同。( )
6．当光发生全反射时反射光的能量小于入射光的能量。( )
7．在同一种介质中，红光的折射率小于紫光的折射率。( )
8．光从空气射入玻璃时，只要入射角足够大就可能发生全反射。( )
9．在潜水员看来，岸上的所有景物都出现在一个倒立的圆锥里。( )
10．光的传播方向发生改变的现象叫光的折射。( )
答案 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8．× 9.√ 10.×
二 对点激活
1．(人教版选修3－4·P48·T1改编)(多选)光由空气射入半圆形玻璃砖，再由玻璃砖射入空气，O点是半圆形玻璃砖的圆心，下图中可能发生的是( )
答案 BC
解析 光由空气斜射入半圆形玻璃砖时，折射角应小于入射角，A不可能发生，B可能发生。当光由半圆形玻璃砖斜射入空气时，折射角应大于入射角，若入射角大于临界角，会发生全反射，C可能发生，D不可能发生。
2．关于折射率，下列说法正确的是( )
A．根据＝n可知，介质的折射率与入射角的正弦值成正比
B．根据＝n可知，介质的折射率与折射角的正弦值成反比
C．根据n＝可知，介质的折射率与介质中的光速成反比
D．同一频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率与波长成正比
答案 C
解析 由折射率的定义式n＝可知，折射率的大小可以由空气中角度的正弦值与介质中角度的正弦值的比值来计算，但折射率是由介质和光的频率共同决定的，且n＝，与入射角和折射角无关，所以A、B错误，C正确。同一种频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率由n＝＝决定，即折射率与波长成反比，D错误。
3．(人教版选修3－4·P53·T1)(多选)光从介质a射向介质b，如果要在a、b介质的分界面上发生全反射，那么必须满足的条件是( )
A．a是光密介质，b是光疏介质
B．光在介质a中的速度必须大于在介质b中的速度
C．光的入射角必须大于或等于临界角
D．必须是单色光
答案 AC
解析 发生全反射的条件是：由光密介质射入光疏介质，入射角大于等于临界角，故A、C正确。由v＝知光在光密介质中的速度小，所以光在介质a中的速度应小于在介质b中的速度，故B错误。发生全反射时，光不一定是单色光，D错误。
4．(人教版选修3－4·P48·T6)关于如图测定玻璃折射率的实验，回答以下问题。
(1)证明图中的入射光线与射出玻璃砖的光线是平行的。
(2)如果光射入和射出玻璃的两个平面是平行的，射出玻璃砖的光线相对入射光线来说产生了侧移。证明：入射角越大侧移越大。
(3)为了减小实验误差，入射角大一些好还是小一些好？
答案 见解析
解析 (1)如图所示，由折射定律可知，n＝＝，而θ2＝θ3，所以θ1＝θ4，入射光线和射出玻璃砖的光线是平行的。
(2)设玻璃砖厚度为d，侧移量为s，则
s＝sin(θ1－θ2)
＝
d与n一定时，θ1越大，θ2越大，s也越大。
(3)由(2)的结论可知，入射角大一些，折射角也会稍大一些，侧移量大一些，这有利于减小测量的相对误差，所以入射角大一些好。
考点细研 悟法培优
考点1 折射定律及折射率的理解与应用
1．对折射率的理解
(1)公式n＝中，光不论是从真空射入介质，还是从介质射入真空，θ1都是指真空中的光线与法线间的夹角，θ2都是指介质中的光线与法线间的夹角。
(2)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小，v＝。
(3)折射率由介质本身的性质和入射光的频率共同决定，与入射角的大小无关。
(4)折射率与介质的密度没有关系，光密介质不是指密度大的介质。
(5)同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。
(6)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长可能不同，但频率相同。
2．光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的。如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射。
例1 (2019·四川宜宾二诊)如图所示，球半径为R的玻璃球冠的底面镀银，底面的半径为R，在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点，经M点折射后的光线照射到底面的N点上，且BN＝MN，已知光在真空中的传播速度为c。求：
(1)玻璃球冠的折射率；
(2)该光线在玻璃球冠中的传播时间(不考虑光线在玻璃球冠中的多次反射)。
(1)要求玻璃球冠的折射率，需________________________________________。
提示：先画光路图，再利用几何关系找出入射角和折射角
(2)要想求光线在玻璃球冠中的传播时间，需要先求________________。
提示：传播距离和传播速度
尝试解答 (1) (2)
(1)光路图如图所示：
由几何关系得∠OBA＝∠OAB＝30°，∠BOA＝120°，△OAM为等边三角形，即BOM为一条直线，
所以在M点入射角i＝60°。
又BN＝MN，所以在M点折射角r＝30°。
由折射定律得n＝
解得n＝。
(2)光在N点反射，反射角等于入射角，设底面中心F点的垂线与反射光线的交点到F点的距离为y，则＝，FN＋AN＝R，可解得y＝＝OF，即在N点反射后的光线过O点垂直BM从球冠的Q点射出
该光线在球冠中的传播距离s＝R＋＋Rtan30°
又n＝
传播时间t＝
解得t＝。
光的折射问题的规范求解
(1)一般解题步骤
①根据题意作出光路图，注意准确作出法线。对于球形玻璃砖，法线是入射点与球心的连线，如例1。
②利用数学知识找到入射角和折射角。
③利用折射定律列方程。
(2)应注意的问题
①入射角、折射角是入射光线、折射光线与法线的夹角。
②应用公式n＝时，要准确确定哪个角是θ1，哪个角是θ2。
③在折射现象中，光路是可逆的。
[变式1] 一束激光经S被分成a和b两束后，穿过玻璃球的光路如图所示，O为球心。入射时光束a和b与SO的夹角均为θ＝30°，射入玻璃球时的入射角均为r1＝60°，出射时光束均与SO平行。光在真空中的速度为c＝3.0×108 m/s，求光在玻璃球中的速度。
答案 ×108 m/s
解析 作出入射点和出射点的法线，如图所示，由几何关系有
r1＝θ＋α
r2＝r3
r4＝β
α＋β＝r2＋r3
又n＝＝
r1＝60°
得r4＝60°，β＝60°
α＝r1－θ＝30°
由α＋β＝r2＋r3得：r2＝r3＝45°
即n＝＝，v＝＝×108 m/s。
考点2 全反射现象的理解和应用
1．发生全反射的条件
(1)光必须从光密介质进入光疏介质；
(2)入射角必须大于或等于临界角。
2．全反射的理解
(1)如果光从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象。
(2)光的全反射遵循光的反射定律，光路是可逆的。
(3)当光射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射。当折射角等于90°时，实际上已经没有折射光了。
(4)全反射现象从能量角度的理解：当光由光密介质射向光疏介质时，在入射角逐渐增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当入射角等于临界角时，折射光的能量减弱为零，这时就发生了全反射。
3．全反射的有关现象
海水浪花呈白色、玻璃或水中的气泡看起来特别亮、沙漠蜃景、海市蜃楼、钻石的光彩夺目、水下的灯不能照亮整个水面等。
4．全反射的应用
(1)全反射棱镜：用来改变光的方向。
(2)光导纤维(简称光纤)
①结构：是一种透明的玻璃纤维丝，直径在几微米到一百微米之间，由内芯和外套两层组成，内芯的折射率大于外套的折射率，即内芯是光密介质，外套是光疏介质。
②原理：光在光纤的内芯中传播，每次射到内芯和外套的界面上时，入射角都大于临界角，从而发生全反射。
例2 如图，某同学想把剖面MON为等腰三角形的玻璃砖加工成“玻璃钻石”送给妈妈。已知顶角∠MON＝2θ，该玻璃的折射率n＝2。现有一光线垂直MN边入射。
(1)为了使该光线在OM边和ON边都能发生全反射，求θ的取值范围；
(2)若θ＝42°，试通过计算说明该光线第一次返回MN边时能否射出。
(1)发生全反射的条件是什么？
提示：由光密介质射入光疏介质时，入射角大于等于临界角。
(2)光线第一次返回MN边时，问能否射出时如何求入射角？
提示：利用四边形内角和为360°。
尝试解答 (1)40°≤θ≤60° (2)能射出
(1)光路如图所示。
设全反射临界角为C，
sinC＝＝
解得C＝30°
在OM边发生全反射应满足90°－θ≥C
在ON边发生全反射应满足3θ－90°≥C
联立解得40°≤θ≤60°。
(2)若θ＝42°，则该光线第一次返回MN边时的入射角为
180°－4θ＝12°
由于12°
解答全反射类问题的技巧
解答全反射类问题时，要抓住发生全反射的两个条件：一、光必须从光密介质射入光疏介质；二、入射角大于或等于临界角。利用好光路图中的临界光线，准确画出恰好发生全反射的光路图是解题的关键。作光路图时尽量准确，与实际相符，以利于问题的分析。
[变式2－1] (2019·山西省三模)如图为某种材料制成的三角形玻璃砖ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC面竖直放置，AB面上镀有反光膜。一束单色激光水平射入AC面，经AB面反射后恰好在BC面上无光线射出，则玻璃对该激光的折射率n＝________；若换用频率更高的激光，其他条件不变，BC面是否有光线射出？________(选填“有”或“没有)”。
答案 没有
解析 光路图如图，激光在AC面入射，在AB面反射，由几何关系知光线在AB面上的入射角θ为30°，反射角为30°，在BC面上的入射角α为60°，恰好没有光线射出，所以临界角为60°
由sinC＝得：n＝＝
若换用频率更高的激光，则折射率变大，临界角变小，所以不会射出。
[变式2－2]
(2019·东北三校高三第一次联合模拟)如图所示，透明材料制成的圆柱形棒，其直径为4 cm，长为40 cm。一细束光线从圆柱棒的一个底面中心垂直于底面射入圆柱棒，光线进入圆柱棒后经×10－8 s，再由棒的另一底面射出。求：
(1)这种材料的折射率；
(2)若从该点调整光线的入射方向，经历的全反射的最多次数。
答案 (1) (2)6次
解析 (1)光在透明材料中的传播速度v＝＝×108 m/s，
这种材料的折射率n＝＝。
(2)设光在这种材料中的全反射临界角为C
则sinC＝＝
解得：C＝60°
光在这种材料中一次全反射前进的最短距离
l＝2×tanC＝4 cm
光在这种材料中按题设要求传播时，第一次全反射前进的最短距离x＝＝2 cm，剩余的距离为L＝40 cm－2 cm，还可以经历的全反射的最多次数
n＝≈5
所以总共经历的全反射的最多次数为N＝n＋1＝6次。
考点3 光路控制和色散
1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
类别
项目
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
上下表面平行
横截面为三角形
横截面是圆
对光线
的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底边偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的传播方向
改变光的传播方向
特别提醒：不同颜色的光的频率不同，在同一种介质中的折射率、光速也不同，发生全反射现象的临界角也不同。
2．折射时光的色散及成因
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散。
(2)含有多种颜色的光从一种介质进入另一种介质，由于同一介质对不同色光的折射率不同，各种色光的偏折程度不同，所以产生光的色散。
例3 半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面如图所示，O为圆心，OO′为直径MN的垂线，足够大的光屏PQ紧靠在玻璃砖的右侧且与MN垂直，一束复色光沿半径方向且与OO′成θ＝30°角射向O点，已知复色光包含有折射率从n1＝到n2＝的光束，因而光屏上出现了彩色光带。
(1)求彩色光带的宽度；
(2)当复色光入射角逐渐增大时，光屏上的彩色光带将变成一个光点，求θ至少为多少？
(1)折射率越小的光在光屏PQ上的位置越靠________。
提示：下
(2)何时光屏上的彩色光带将变成一个光点？
提示：复色光恰好全部发生全反射时。
尝试解答 (1)R (2)45°
(1)设折射率为n1的光从O点射出时的折射角为β1，折射率为n2的光从O点射出时的折射角为β2，
则有n1＝
n2＝
代入数据得β1＝45°，β2＝60°
故彩色光带的宽度为
d＝Rtan(90°－β1)－Rtan(90°－β2)＝R。
(2)当复色光恰好全部发生全反射时，sinC＝＝，
即入射角至少为θ＝C＝45°。
光的色散遵循的规律
颜色
红橙黄绿青蓝紫
频率
低→高
折射时的偏折程度
小→大
通过棱镜的偏折角
小→大
同一介质中的折射率
小→大
同一介质中的速度
大→小
波长
大→小
全反射临界角
大→小
[变式3] (多选)如图所示，一束光斜射向厚度为d的长方体玻璃砖，经它折射后射出a、b两束光线，则下列说法正确的是( )
A．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．在玻璃中，a光的传播速度大于b光的传播速度
D．从玻璃砖底边射出的a、b光传播方向不平行
E．如果只将玻璃砖的厚度d减半，那么从玻璃砖底边射出的a、b光线间的距离将减小
答案 ACE
解析 由图可知，a光在玻璃砖中的折射角大于b光的折射角，根据折射定律可知，na
求折射率的四种方法
1．计算法：用量角器测量入射角θ1和折射角θ2，算出不同入射角时对应的，并取平均值。
2．图象法：多次改变入射角θ1，测出对应的折射角θ2，作sinθ1－sinθ2图象，由n＝可知图象应为一条过原点的直线，如图所示，其斜率就是玻璃的折射率。
3．辅助线段法：利用直尺作辅助线，测出辅助线的长度，求玻璃的折射率。
如图所示，作辅助线垂直于O，量出、，作辅助线垂直于，量出、，则sinθ1＝，sinθ2＝，即可求出：n＝＝。
4．“单位圆法”：以入射点O为圆心，以适当长度R为半径画圆，交入射光线OA于E点，交折射光线OO′于E′点，过E作NN′的垂线EH交NN′于H点，过E′作NN′的垂线E′H′ 交NN′于H′点。如图所示，sinθ1＝，sinθ2＝，＝＝R，则n＝＝。只要用刻度尺量出、的长度就可以求出n。
例4 在“测玻璃的折射率”实验中：
(1)为了取得较好的实验效果，
A．必须选用上下表面平行的玻璃砖；
B．选择的入射角应尽量小些；
C．大头针应垂直地插在纸面上；
D．大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些。
其中正确的是________。
(2)甲同学在画界面时，不小心将两界面aa′和bb′间距画得比玻璃砖宽度大些，如图1所示，则他测得的折射率________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
(3)乙同学在量入射角和折射角时，由于没有量角器，在完成了光路图以后，如图2所示，以O点为圆心，OA为半径画圆，交OO′延长线于C点，过A点和C点作垂直法线的直线分别交于B点和D点，则他只需要测量________________，就可求出玻璃的折射率n＝________。
(1)测定玻璃的折射率一定得用平行玻璃砖吗？
提示：不一定。
(2)求折射率时，入射角和折射角的正弦值可以用线段之间的关系表示吗？
提示：可以。
尝试解答 (1)CD (2)偏小 (3)AB、CD的长度、 。
(1)用插针法测定折射率时，玻璃砖上下表面不一定要平行，故A错误；为了减小测量的相对误差，选择的入射角不能太小，也不能太大，故B错误；为了准确确定入射光线和折射光线，大头针应垂直地插在纸面上，所以C正确；大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些时，相同的距离误差引起的角度误差会减小，效果会好些，所以D正确。
(2)如图，实线是真实的光路图，虚线是玻璃砖宽度画大后的光路图，由图可以看出，测出的折射角比真实的大，折射率偏小。
(3)根据折射定律n＝＝＝。
白纸上面画边缘，然后才放玻璃砖；
两针决定入射光，再插一针挡两像；
两针两像成一线，去砖画图是重点；
入射线，折射线，作出法线角出现；
入射角，折射角，不大不小是最好；
拿砖要触毛玻面，插针竖直做实验。
[变式4] 某同学用半圆形玻璃砖测定玻璃的折射率(如图所示)。实验的主要过程如下：
A．把白纸用图钉钉在木板上，在白纸上作出直角坐标系xOy，在白纸上画一条线段AO表示入射光线
B．把半圆形玻璃砖M放在白纸上，使其底边aa′与Ox轴重合
C．用一束平行于纸面的激光从y>0区域沿y轴负方向
射向玻璃砖，并沿x轴方向调整玻璃砖的位置，使这束激光从玻璃砖底面射出后，仍向y轴负方向传播
D．在AO线段上竖直地插上两枚大头针P1、P2
E．在坐标系y<0的区域内竖直地插上大头针P3，并使得从P3一侧向玻璃砖方向看去，P3能同时挡住P1和P2的像
F．移开玻璃砖，连接O、P3，用圆规以O点为圆心画一个圆(如图中虚线所示)，此圆与AO线交点为B，与OP3线的交点为C。测出B点到x轴、y轴的距离分别为y1、x1，C点到x轴、y轴的距离分别为y2、x2
(1)若实验中该同学没有将玻璃砖的底边aa′与Ox轴重合，而是向y>0方向侧移了一些，这将导致所测的玻璃折射率与其真实值相比________。(填“偏大”“不变”或“偏小”)
(2)若实验中该同学在y<0的区域内，从任何角度都无法透过玻璃砖看到P1、P2，为能透过玻璃砖看到P1、P2，应采取的措施是：________________________________________________________________________。
答案 (1)偏大 (2)减小光线AO的入射角
解析 (1)折射率n＝，玻璃砖的底边aa′与Ox轴未重合而是向y>0方向侧移了一些，导致测量的x2偏大，x1偏小，导致玻璃折射率的测量值与真实值相比偏大。
(2)在y<0的区域内，从任何角度都无法透过玻璃砖看到P1、P2，说明光线AO在界面aa′上发生了全反射，为能看到，应该减小光线AO的入射角。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 由光路可逆性，根据题述和图示可知，i＝60°，r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
2．(2019·天津高考)某小组做测定玻璃的折射率实验，所用器材有：玻璃砖，大头针，刻度尺，圆规，笔，白纸。
①下列哪些措施能够提高实验准确程度________。
A．选用两光学表面间距大的玻璃砖
B．选用两光学表面平行的玻璃砖
C．选用粗的大头针完成实验
D．插在玻璃砖同侧的两枚大头针间的距离尽量大些
②该小组用同一套器材完成了四次实验，记录的玻璃砖界线和四个大头针扎下的孔洞如下图所示，其中实验操作正确的是________。
③该小组选取了操作正确的实验记录，在白纸上画出光线的径迹，以入射点O为圆心作圆，与入射光线、折射光线分别交于A、B点，再过A、B点作法线NN′的垂线，垂足分别为C、D点，如图所示，则玻璃的折射率n＝________。(用图中线段的字母表示)
答案 ①AD ②D ③
解析 ①测定玻璃折射率的关键是根据入射光线和出射光线确定在玻璃中的传播光线，因此选用光学表面间距大的玻璃砖以及使同侧两枚大头针间的距离尽量大些都有利于提高实验的准确程度，A、D正确；两光学表面是否平行不影响折射率的测量，为减小误差，应选用细长的大头针，故B、C错误。
②两光学表面平行的玻璃砖的入射光线与出射光线平行，在空气中的入射角大于玻璃中的折射角，在题图中，根据玻璃砖界线及四个孔洞位置分别作出光路图及法线，如图1所示分析可知实验操作正确的是D。
③如图2所示，玻璃的折射率n＝，又sini＝，sinr＝，故n＝。
3．(2019·江苏高考)如图所示，某L形透明材料的折射率n＝2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值。
答案 60°
解析 光线射到AB面时不射入空气中，则在AB面发生全反射。当恰好发生全反射时，入射角为临界角C，此时θ最大，sinC＝，由几何关系得C＋θm＝90°，解得θm＝60°。
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。
(1)求棱镜的折射率；
(2)保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
答案 (1) (2)
解析 (1)光路图及相关量如图所示。
光束在AB边上折射，由折射定律得＝n①
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知α＋β＝60°②
由几何关系和反射定律得β＝β′＝∠B③
联立①②③式，并代入i＝60°得
n＝④
(2)设改变后的入射角为i′，折射角为α′，由折射定律得
＝n⑤
依题意，光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc，且
sinθc＝⑥
由几何关系得θc＝α′＋30°⑦
由④⑤⑥⑦式得此时AB边上入射角的正弦为sini′＝。
5．(2019·全国卷Ⅰ)如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin53°＝0.8)。已知水的折射率为。
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。由几何关系有＝tan53°①
＝tanθ②
由折射定律有sin53°＝nsinθ③
设桅杆到P点的水平距离为x，则x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，由折射定律有sini′＝nsin45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则
x1′＋x2′＝x′＋x⑦
＝tani′⑧
＝tan45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得x′＝(6－3) m≈5.5 m。
6．(2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)光线在BC面上折射，由折射定律有
sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系得i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得δ＝60°。⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为≤n<2。
7．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有
nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
8．(2017·全国卷Ⅱ)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点，设光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有
nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55。
9．(2017·全国卷Ⅰ)如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图，依题意，射出的光线恰好与入射光线平行，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。由折射定律有sini＝nsinr①
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。
由正弦定理有＝②
由题设条件和几何关系有sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得
sinr＝④
由①③④式和题给数据得n＝≈1.43。
10．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时恰好不能射出，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有nsinic＝1②
由几何关系有sini＝③
联立①②③式并利用题给条件，得l＝R。④
(2)设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
＝⑥
由几何关系有∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得OC＝R≈2.74R。
第十五章光 电磁波 相对论简介
高考地位
高考对光的知识的考查主要以选择题和计算题为主，实验题和光路作图题的考查频率也很高。试题的难度中等，分值在10分左右。高考对电磁波及相对论简介的考查以识记和理解为主，题型以选择题或填空题形式出现，试题难度不大，分值在5分左右。
考纲下载
1.光的折射定律(Ⅱ)
2．折射率(Ⅰ)
3.全反射、光导纤维(Ⅰ)
4.光的干涉、衍射和偏振现象(Ⅰ)
5．电磁波的产生(Ⅰ)
6．电磁波的发射、传播和接收(Ⅰ)
7．电磁波谱(Ⅰ)
8．狭义相对论的基本假设(Ⅰ)
9．质能关系(Ⅰ)
实验二：测定玻璃的折射率
实验三：用双缝干涉测光的波长
考纲解读
1.考查对光的折射定律的理解与应用。
2．考查全反射现象及其分析。
3．考查光的干涉条件，干涉条纹的分析以及对衍射、偏振等现象的理解。
4．考查折射率、波长的测量。
5．考查对麦克斯韦的两个基本假设和电磁波概念的理解。
6．理解电磁波谱的组成以及各波段电磁波的性质、传播特点与用途。
7．理解狭义相对论的基本假设，并能应用其处理简单的实际问题。
8．理解质能关系公式，并能进行简单计算。
第1讲 光的折射、全反射
主干梳理 对点激活
知识点 光的折射定律 Ⅱ
折射率 Ⅰ
1．折射现象
光从一种介质斜射进入另一种介质时传播方向改变的现象。
2．折射定律
(1)内容：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。
(2)表达式：＝n12，式中n12是比例常数。
(3)在光的折射现象中，光路是可逆的。
3．折射率
(1)定义：光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦的比，叫做这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示。
(2)物理意义：折射率仅反映介质的光学特性，折射率大，说明光从真空射入到该介质时偏折大，反之偏折小。
(3)定义式：n＝，不能说n与sinθ1成正比、与sinθ2成反比，对于确定的某种介质而言，入射角的正弦与折射角的正弦成正比。折射率由介质本身的光学性质和光的频率决定。
(4)光在不同介质中的速度不同，某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度c与光在这种介质中的传播速度v之比，即n＝，因v
4．光密介质与光疏介质
(1)光密介质：折射率较大的介质。
(2)光疏介质：折射率较小的介质。
(3)光密介质和光疏介质是相对的。某种介质相对其他不同介质可能是光密介质，也可能是光疏介质。
知识点 全反射、光导纤维 Ⅰ
1．全反射
(1)条件：①光从光密介质射入光疏介质。
②入射角大于或等于临界角。
(2)现象：折射光完全消失，只剩下反射光。
(3)临界角：折射角等于90°时的入射角，用C表示，sinC＝。
(4)应用：①光导纤维；②全反射棱镜。
2．光的色散
(1)光的色散现象：含有多种颜色的光被分解为单色光的现象。
(2)色散规律：白光是由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种色光组成的，折射率依次增大，红光的最小，紫光的最大，当一束白光入射到棱镜界面时，七种色光以相同的入射角射到棱镜界面，各种色光的折射角不同，红光偏折得最小，紫光偏折得最大；当它们从另一个界面射出时，仍然是紫光的偏折最大，红光的偏折最小。
(3)光的色散现象说明
①白光为复色光；
②同一介质对不同色光的折射率不同，频率越大的色光折射率越大；
③不同色光在同一介质中的传播速度不同，根据n＝，频率越大，折射率越大，则波速越小。
(4)光的色散的种类
除光的折射时的色散，还有光的干涉时的色散、光的衍射时的色散，详情见下一讲内容。
知识点 实验：用插针法测定玻璃的折射率
1．实验原理
如图所示，用插针法确定入射角和折射角，根据n＝计算玻璃折射率。
2．实验器材
两侧面平行的玻璃砖、白纸、木板、大头针、图钉、量角器、刻度尺、铅笔。
3．实验步骤
(1)把白纸用图钉钉在木板上。
(2)用刻度尺在纸面上作一条直线aa′，过aa′上一点O作垂直于aa′的线段NN′，再过O点作一条线段AO，并使∠NOA即θ1适当大些。
(3)在AO线上竖直地插两枚大头针P1、P2，并使间距适当大些，在白纸上沿直线aa′放上被测玻璃砖。
(4)沿玻璃砖的另一个侧面再作一条直线bb′。
(5)在玻璃砖的bb′一侧白纸上竖直地插一枚大头针P3，使P3恰好能同时挡住aa′一侧所插的大头针P2、P1的像。接着，在玻璃砖的bb′一侧再竖直地插一枚大头针P4，使P4能挡住P3本身以及P1、P2的像。
(6)标记下P1、P2、P3、P4的位置，移去玻璃砖，拔去大头针，过P3、P4作一条直线O′B，交bb′于O′点，连接OO′就是入射光线AO在玻璃砖内的折射光线，折射角为θ2。
(7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，记入表格内。
(8)用上述方法分别测出入射角是15°、30°、45°、60°和75°时的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，记入表格里。算出各不同入射角时的值，求出它们的平均值，就是这块玻璃的折射率。
4．注意事项
(1)实验时，将大头针尽可能竖直地插在纸板上，并且使P1与P2之间、P3与P4之间距离适当大一些，这样可以减小确定光路方向时出现的误差。
(2)入射角θ1应适当大一些，以减小测量角度的误差，但入射角不宜太大，太大会导致反射光太强、折射光太弱，不易确定P3、P4的位置。
(3)在操作时，手不能触摸玻璃砖的光洁光学面，更不能把玻璃砖当尺子画界线。
(4)在实验过程中，玻璃砖与白纸的相对位置不能改变。
一 堵点疏通
1．折射率的大小由介质本身和光的频率共同决定，与入射角、折射角的大小无关。( )
2．光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质。( )
3．我国使用的宽带光纤通信网络利用了光的衍射原理。( )
4．光由一种介质进入另一种介质时，光的频率不变。( )
5．不同颜色的光在真空中的传播速度都相同。( )
6．当光发生全反射时反射光的能量小于入射光的能量。( )
7．在同一种介质中，红光的折射率小于紫光的折射率。( )
8．光从空气射入玻璃时，只要入射角足够大就可能发生全反射。( )
9．在潜水员看来，岸上的所有景物都出现在一个倒立的圆锥里。( )
10．光的传播方向发生改变的现象叫光的折射。( )
答案 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8．× 9.√ 10.×
二 对点激活
1．(人教版选修3－4·P48·T1改编)(多选)光由空气射入半圆形玻璃砖，再由玻璃砖射入空气，O点是半圆形玻璃砖的圆心，下图中可能发生的是( )
答案 BC
解析 光由空气斜射入半圆形玻璃砖时，折射角应小于入射角，A不可能发生，B可能发生。当光由半圆形玻璃砖斜射入空气时，折射角应大于入射角，若入射角大于临界角，会发生全反射，C可能发生，D不可能发生。
2．关于折射率，下列说法正确的是( )
A．根据＝n可知，介质的折射率与入射角的正弦值成正比
B．根据＝n可知，介质的折射率与折射角的正弦值成反比
C．根据n＝可知，介质的折射率与介质中的光速成反比
D．同一频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率与波长成正比
答案 C
解析 由折射率的定义式n＝可知，折射率的大小可以由空气中角度的正弦值与介质中角度的正弦值的比值来计算，但折射率是由介质和光的频率共同决定的，且n＝，与入射角和折射角无关，所以A、B错误，C正确。同一种频率的光由第一种介质进入第二种介质时，折射率由n＝＝决定，即折射率与波长成反比，D错误。
3．(人教版选修3－4·P53·T1)(多选)光从介质a射向介质b，如果要在a、b介质的分界面上发生全反射，那么必须满足的条件是( )
A．a是光密介质，b是光疏介质
B．光在介质a中的速度必须大于在介质b中的速度
C．光的入射角必须大于或等于临界角
D．必须是单色光
答案 AC
解析 发生全反射的条件是：由光密介质射入光疏介质，入射角大于等于临界角，故A、C正确。由v＝知光在光密介质中的速度小，所以光在介质a中的速度应小于在介质b中的速度，故B错误。发生全反射时，光不一定是单色光，D错误。
4．(人教版选修3－4·P48·T6)关于如图测定玻璃折射率的实验，回答以下问题。
(1)证明图中的入射光线与射出玻璃砖的光线是平行的。
(2)如果光射入和射出玻璃的两个平面是平行的，射出玻璃砖的光线相对入射光线来说产生了侧移。证明：入射角越大侧移越大。
(3)为了减小实验误差，入射角大一些好还是小一些好？
答案 见解析
解析 (1)如图所示，由折射定律可知，n＝＝，而θ2＝θ3，所以θ1＝θ4，入射光线和射出玻璃砖的光线是平行的。
(2)设玻璃砖厚度为d，侧移量为s，则
s＝sin(θ1－θ2)
＝
d与n一定时，θ1越大，θ2越大，s也越大。
(3)由(2)的结论可知，入射角大一些，折射角也会稍大一些，侧移量大一些，这有利于减小测量的相对误差，所以入射角大一些好。
考点细研 悟法培优
考点1 折射定律及折射率的理解与应用
1．对折射率的理解
(1)公式n＝中，光不论是从真空射入介质，还是从介质射入真空，θ1都是指真空中的光线与法线间的夹角，θ2都是指介质中的光线与法线间的夹角。
(2)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小，v＝。
(3)折射率由介质本身的性质和入射光的频率共同决定，与入射角的大小无关。
(4)折射率与介质的密度没有关系，光密介质不是指密度大的介质。
(5)同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小。
(6)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长可能不同，但频率相同。
2．光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的。如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射。
例1 (2019·四川宜宾二诊)如图所示，球半径为R的玻璃球冠的底面镀银，底面的半径为R，在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点，经M点折射后的光线照射到底面的N点上，且BN＝MN，已知光在真空中的传播速度为c。求：
(1)玻璃球冠的折射率；
(2)该光线在玻璃球冠中的传播时间(不考虑光线在玻璃球冠中的多次反射)。
(1)要求玻璃球冠的折射率，需________________________________________。
提示：先画光路图，再利用几何关系找出入射角和折射角
(2)要想求光线在玻璃球冠中的传播时间，需要先求________________。
提示：传播距离和传播速度
尝试解答 (1) (2)
(1)光路图如图所示：
由几何关系得∠OBA＝∠OAB＝30°，∠BOA＝120°，△OAM为等边三角形，即BOM为一条直线，
所以在M点入射角i＝60°。
又BN＝MN，所以在M点折射角r＝30°。
由折射定律得n＝
解得n＝。
(2)光在N点反射，反射角等于入射角，设底面中心F点的垂线与反射光线的交点到F点的距离为y，则＝，FN＋AN＝R，可解得y＝＝OF，即在N点反射后的光线过O点垂直BM从球冠的Q点射出
该光线在球冠中的传播距离s＝R＋＋Rtan30°
又n＝
传播时间t＝
解得t＝。
光的折射问题的规范求解
(1)一般解题步骤
①根据题意作出光路图，注意准确作出法线。对于球形玻璃砖，法线是入射点与球心的连线，如例1。
②利用数学知识找到入射角和折射角。
③利用折射定律列方程。
(2)应注意的问题
①入射角、折射角是入射光线、折射光线与法线的夹角。
②应用公式n＝时，要准确确定哪个角是θ1，哪个角是θ2。
③在折射现象中，光路是可逆的。
[变式1] 一束激光经S被分成a和b两束后，穿过玻璃球的光路如图所示，O为球心。入射时光束a和b与SO的夹角均为θ＝30°，射入玻璃球时的入射角均为r1＝60°，出射时光束均与SO平行。光在真空中的速度为c＝3.0×108 m/s，求光在玻璃球中的速度。
答案 ×108 m/s
解析 作出入射点和出射点的法线，如图所示，由几何关系有
r1＝θ＋α
r2＝r3
r4＝β
α＋β＝r2＋r3
又n＝＝
r1＝60°
得r4＝60°，β＝60°
α＝r1－θ＝30°
由α＋β＝r2＋r3得：r2＝r3＝45°
即n＝＝，v＝＝×108 m/s。
考点2 全反射现象的理解和应用
1．发生全反射的条件
(1)光必须从光密介质进入光疏介质；
(2)入射角必须大于或等于临界角。
2．全反射的理解
(1)如果光从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象。
(2)光的全反射遵循光的反射定律，光路是可逆的。
(3)当光射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射。当折射角等于90°时，实际上已经没有折射光了。
(4)全反射现象从能量角度的理解：当光由光密介质射向光疏介质时，在入射角逐渐增大的过程中，反射光的能量逐渐增强，折射光的能量逐渐减弱，当入射角等于临界角时，折射光的能量减弱为零，这时就发生了全反射。
3．全反射的有关现象
海水浪花呈白色、玻璃或水中的气泡看起来特别亮、沙漠蜃景、海市蜃楼、钻石的光彩夺目、水下的灯不能照亮整个水面等。
4．全反射的应用
(1)全反射棱镜：用来改变光的方向。
(2)光导纤维(简称光纤)
①结构：是一种透明的玻璃纤维丝，直径在几微米到一百微米之间，由内芯和外套两层组成，内芯的折射率大于外套的折射率，即内芯是光密介质，外套是光疏介质。
②原理：光在光纤的内芯中传播，每次射到内芯和外套的界面上时，入射角都大于临界角，从而发生全反射。
例2 如图，某同学想把剖面MON为等腰三角形的玻璃砖加工成“玻璃钻石”送给妈妈。已知顶角∠MON＝2θ，该玻璃的折射率n＝2。现有一光线垂直MN边入射。
(1)为了使该光线在OM边和ON边都能发生全反射，求θ的取值范围；
(2)若θ＝42°，试通过计算说明该光线第一次返回MN边时能否射出。
(1)发生全反射的条件是什么？
提示：由光密介质射入光疏介质时，入射角大于等于临界角。
(2)光线第一次返回MN边时，问能否射出时如何求入射角？
提示：利用四边形内角和为360°。
尝试解答 (1)40°≤θ≤60° (2)能射出
(1)光路如图所示。
设全反射临界角为C，
sinC＝＝
解得C＝30°
在OM边发生全反射应满足90°－θ≥C
在ON边发生全反射应满足3θ－90°≥C
联立解得40°≤θ≤60°。
(2)若θ＝42°，则该光线第一次返回MN边时的入射角为
180°－4θ＝12°
由于12°
解答全反射类问题的技巧
解答全反射类问题时，要抓住发生全反射的两个条件：一、光必须从光密介质射入光疏介质；二、入射角大于或等于临界角。利用好光路图中的临界光线，准确画出恰好发生全反射的光路图是解题的关键。作光路图时尽量准确，与实际相符，以利于问题的分析。
[变式2－1] (2019·山西省三模)如图为某种材料制成的三角形玻璃砖ABC，∠B＝90°，∠A＝30°，AC面竖直放置，AB面上镀有反光膜。一束单色激光水平射入AC面，经AB面反射后恰好在BC面上无光线射出，则玻璃对该激光的折射率n＝________；若换用频率更高的激光，其他条件不变，BC面是否有光线射出？________(选填“有”或“没有)”。
答案 没有
解析 光路图如图，激光在AC面入射，在AB面反射，由几何关系知光线在AB面上的入射角θ为30°，反射角为30°，在BC面上的入射角α为60°，恰好没有光线射出，所以临界角为60°
由sinC＝得：n＝＝
若换用频率更高的激光，则折射率变大，临界角变小，所以不会射出。
[变式2－2]
(2019·东北三校高三第一次联合模拟)如图所示，透明材料制成的圆柱形棒，其直径为4 cm，长为40 cm。一细束光线从圆柱棒的一个底面中心垂直于底面射入圆柱棒，光线进入圆柱棒后经×10－8 s，再由棒的另一底面射出。求：
(1)这种材料的折射率；
(2)若从该点调整光线的入射方向，经历的全反射的最多次数。
答案 (1) (2)6次
解析 (1)光在透明材料中的传播速度v＝＝×108 m/s，
这种材料的折射率n＝＝。
(2)设光在这种材料中的全反射临界角为C
则sinC＝＝
解得：C＝60°
光在这种材料中一次全反射前进的最短距离
l＝2×tanC＝4 cm
光在这种材料中按题设要求传播时，第一次全反射前进的最短距离x＝＝2 cm，剩余的距离为L＝40 cm－2 cm，还可以经历的全反射的最多次数
n＝≈5
所以总共经历的全反射的最多次数为N＝n＋1＝6次。
考点3 光路控制和色散
1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
类别
项目
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
上下表面平行
横截面为三角形
横截面是圆
对光线
的作用
通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移
通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底边偏折
圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的传播方向
改变光的传播方向
特别提醒：不同颜色的光的频率不同，在同一种介质中的折射率、光速也不同，发生全反射现象的临界角也不同。
2．折射时光的色散及成因
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散。
(2)含有多种颜色的光从一种介质进入另一种介质，由于同一介质对不同色光的折射率不同，各种色光的偏折程度不同，所以产生光的色散。
例3 半径为R的固定半圆形玻璃砖的横截面如图所示，O为圆心，OO′为直径MN的垂线，足够大的光屏PQ紧靠在玻璃砖的右侧且与MN垂直，一束复色光沿半径方向且与OO′成θ＝30°角射向O点，已知复色光包含有折射率从n1＝到n2＝的光束，因而光屏上出现了彩色光带。
(1)求彩色光带的宽度；
(2)当复色光入射角逐渐增大时，光屏上的彩色光带将变成一个光点，求θ至少为多少？
(1)折射率越小的光在光屏PQ上的位置越靠________。
提示：下
(2)何时光屏上的彩色光带将变成一个光点？
提示：复色光恰好全部发生全反射时。
尝试解答 (1)R (2)45°
(1)设折射率为n1的光从O点射出时的折射角为β1，折射率为n2的光从O点射出时的折射角为β2，
则有n1＝
n2＝
代入数据得β1＝45°，β2＝60°
故彩色光带的宽度为
d＝Rtan(90°－β1)－Rtan(90°－β2)＝R。
(2)当复色光恰好全部发生全反射时，sinC＝＝，
即入射角至少为θ＝C＝45°。
光的色散遵循的规律
颜色
红橙黄绿青蓝紫
频率
低→高
折射时的偏折程度
小→大
通过棱镜的偏折角
小→大
同一介质中的折射率
小→大
同一介质中的速度
大→小
波长
大→小
全反射临界角
大→小
[变式3] (多选)如图所示，一束光斜射向厚度为d的长方体玻璃砖，经它折射后射出a、b两束光线，则下列说法正确的是( )
A．玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率
B．在真空中，a光的波长小于b光的波长
C．在玻璃中，a光的传播速度大于b光的传播速度
D．从玻璃砖底边射出的a、b光传播方向不平行
E．如果只将玻璃砖的厚度d减半，那么从玻璃砖底边射出的a、b光线间的距离将减小
答案 ACE
解析 由图可知，a光在玻璃砖中的折射角大于b光的折射角，根据折射定律可知，na
求折射率的四种方法
1．计算法：用量角器测量入射角θ1和折射角θ2，算出不同入射角时对应的，并取平均值。
2．图象法：多次改变入射角θ1，测出对应的折射角θ2，作sinθ1－sinθ2图象，由n＝可知图象应为一条过原点的直线，如图所示，其斜率就是玻璃的折射率。
3．辅助线段法：利用直尺作辅助线，测出辅助线的长度，求玻璃的折射率。
如图所示，作辅助线垂直于O，量出、，作辅助线垂直于，量出、，则sinθ1＝，sinθ2＝，即可求出：n＝＝。
4．“单位圆法”：以入射点O为圆心，以适当长度R为半径画圆，交入射光线OA于E点，交折射光线OO′于E′点，过E作NN′的垂线EH交NN′于H点，过E′作NN′的垂线E′H′ 交NN′于H′点。如图所示，sinθ1＝，sinθ2＝，＝＝R，则n＝＝。只要用刻度尺量出、的长度就可以求出n。
例4 在“测玻璃的折射率”实验中：
(1)为了取得较好的实验效果，
A．必须选用上下表面平行的玻璃砖；
B．选择的入射角应尽量小些；
C．大头针应垂直地插在纸面上；
D．大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些。
其中正确的是________。
(2)甲同学在画界面时，不小心将两界面aa′和bb′间距画得比玻璃砖宽度大些，如图1所示，则他测得的折射率________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
(3)乙同学在量入射角和折射角时，由于没有量角器，在完成了光路图以后，如图2所示，以O点为圆心，OA为半径画圆，交OO′延长线于C点，过A点和C点作垂直法线的直线分别交于B点和D点，则他只需要测量________________，就可求出玻璃的折射率n＝________。
(1)测定玻璃的折射率一定得用平行玻璃砖吗？
提示：不一定。
(2)求折射率时，入射角和折射角的正弦值可以用线段之间的关系表示吗？
提示：可以。
尝试解答 (1)CD (2)偏小 (3)AB、CD的长度、 。
(1)用插针法测定折射率时，玻璃砖上下表面不一定要平行，故A错误；为了减小测量的相对误差，选择的入射角不能太小，也不能太大，故B错误；为了准确确定入射光线和折射光线，大头针应垂直地插在纸面上，所以C正确；大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些时，相同的距离误差引起的角度误差会减小，效果会好些，所以D正确。
(2)如图，实线是真实的光路图，虚线是玻璃砖宽度画大后的光路图，由图可以看出，测出的折射角比真实的大，折射率偏小。
(3)根据折射定律n＝＝＝。
白纸上面画边缘，然后才放玻璃砖；
两针决定入射光，再插一针挡两像；
两针两像成一线，去砖画图是重点；
入射线，折射线，作出法线角出现；
入射角，折射角，不大不小是最好；
拿砖要触毛玻面，插针竖直做实验。
[变式4] 某同学用半圆形玻璃砖测定玻璃的折射率(如图所示)。实验的主要过程如下：
A．把白纸用图钉钉在木板上，在白纸上作出直角坐标系xOy，在白纸上画一条线段AO表示入射光线
B．把半圆形玻璃砖M放在白纸上，使其底边aa′与Ox轴重合
C．用一束平行于纸面的激光从y>0区域沿y轴负方向
射向玻璃砖，并沿x轴方向调整玻璃砖的位置，使这束激光从玻璃砖底面射出后，仍向y轴负方向传播
D．在AO线段上竖直地插上两枚大头针P1、P2
E．在坐标系y<0的区域内竖直地插上大头针P3，并使得从P3一侧向玻璃砖方向看去，P3能同时挡住P1和P2的像
F．移开玻璃砖，连接O、P3，用圆规以O点为圆心画一个圆(如图中虚线所示)，此圆与AO线交点为B，与OP3线的交点为C。测出B点到x轴、y轴的距离分别为y1、x1，C点到x轴、y轴的距离分别为y2、x2
(1)若实验中该同学没有将玻璃砖的底边aa′与Ox轴重合，而是向y>0方向侧移了一些，这将导致所测的玻璃折射率与其真实值相比________。(填“偏大”“不变”或“偏小”)
(2)若实验中该同学在y<0的区域内，从任何角度都无法透过玻璃砖看到P1、P2，为能透过玻璃砖看到P1、P2，应采取的措施是：________________________________________________________________________。
答案 (1)偏大 (2)减小光线AO的入射角
解析 (1)折射率n＝，玻璃砖的底边aa′与Ox轴未重合而是向y>0方向侧移了一些，导致测量的x2偏大，x1偏小，导致玻璃折射率的测量值与真实值相比偏大。
(2)在y<0的区域内，从任何角度都无法透过玻璃砖看到P1、P2，说明光线AO在界面aa′上发生了全反射，为能看到，应该减小光线AO的入射角。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°。一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________。若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°。
答案 大于
解析 由光路可逆性，根据题述和图示可知，i＝60°，r＝30°，由折射定律，玻璃对红光的折射率n＝＝。若改用蓝光沿同一路径入射，由于玻璃对蓝光的折射率大于玻璃对红光的折射率，则光线在D点射出时的折射角大于60°。
2．(2019·天津高考)某小组做测定玻璃的折射率实验，所用器材有：玻璃砖，大头针，刻度尺，圆规，笔，白纸。
①下列哪些措施能够提高实验准确程度________。
A．选用两光学表面间距大的玻璃砖
B．选用两光学表面平行的玻璃砖
C．选用粗的大头针完成实验
D．插在玻璃砖同侧的两枚大头针间的距离尽量大些
②该小组用同一套器材完成了四次实验，记录的玻璃砖界线和四个大头针扎下的孔洞如下图所示，其中实验操作正确的是________。
③该小组选取了操作正确的实验记录，在白纸上画出光线的径迹，以入射点O为圆心作圆，与入射光线、折射光线分别交于A、B点，再过A、B点作法线NN′的垂线，垂足分别为C、D点，如图所示，则玻璃的折射率n＝________。(用图中线段的字母表示)
答案 ①AD ②D ③
解析 ①测定玻璃折射率的关键是根据入射光线和出射光线确定在玻璃中的传播光线，因此选用光学表面间距大的玻璃砖以及使同侧两枚大头针间的距离尽量大些都有利于提高实验的准确程度，A、D正确；两光学表面是否平行不影响折射率的测量，为减小误差，应选用细长的大头针，故B、C错误。
②两光学表面平行的玻璃砖的入射光线与出射光线平行，在空气中的入射角大于玻璃中的折射角，在题图中，根据玻璃砖界线及四个孔洞位置分别作出光路图及法线，如图1所示分析可知实验操作正确的是D。
③如图2所示，玻璃的折射率n＝，又sini＝，sinr＝，故n＝。
3．(2019·江苏高考)如图所示，某L形透明材料的折射率n＝2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ。为使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值。
答案 60°
解析 光线射到AB面时不射入空气中，则在AB面发生全反射。当恰好发生全反射时，入射角为临界角C，此时θ最大，sinC＝，由几何关系得C＋θm＝90°，解得θm＝60°。
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝30°。一束光线平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。
(1)求棱镜的折射率；
(2)保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上入射角的正弦。
答案 (1) (2)
解析 (1)光路图及相关量如图所示。
光束在AB边上折射，由折射定律得＝n①
式中n是棱镜的折射率。由几何关系可知α＋β＝60°②
由几何关系和反射定律得β＝β′＝∠B③
联立①②③式，并代入i＝60°得
n＝④
(2)设改变后的入射角为i′，折射角为α′，由折射定律得
＝n⑤
依题意，光束在BC边上的入射角为全反射的临界角θc，且
sinθc＝⑥
由几何关系得θc＝α′＋30°⑦
由④⑤⑥⑦式得此时AB边上入射角的正弦为sini′＝。
5．(2019·全国卷Ⅰ)如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°(取sin53°＝0.8)。已知水的折射率为。
(1)求桅杆到P点的水平距离；
(2)船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。
答案 (1)7 m (2)5.5 m
解析 (1)设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2；桅杆高度为h1，P点处水深为h2；激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。由几何关系有＝tan53°①
＝tanθ②
由折射定律有sin53°＝nsinθ③
设桅杆到P点的水平距离为x，则x＝x1＋x2④
联立①②③④式并代入题给数据得x＝7 m⑤
(2)设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i′，由折射定律有sini′＝nsin45°⑥
设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则
x1′＋x2′＝x′＋x⑦
＝tani′⑧
＝tan45°⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得x′＝(6－3) m≈5.5 m。
6．(2018·全国卷Ⅱ)如图，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°，一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点。不计多次反射。
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案 (1)60° (2)≤n<2
解析 (1)光线在BC面上折射，由折射定律有
sini1＝nsinr1①
式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角。
光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角。
光线在AB面上发生折射，由折射定律有nsini3＝sinr3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角。由几何关系得i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得δ＝60°。⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全反射，有nsini2≥nsinC>nsini3⑦
式中C是全反射临界角，满足nsinC＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为≤n<2。
7．(2018·全国卷Ⅲ)如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱镜的折射率。(不考虑光线在三棱镜中的反射)
答案
解析 过D点作AB边的垂线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为来自O点的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示。
根据折射定律有
nsinα＝sinβ①
式中n为三棱镜的折射率
由几何关系可知β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④
由③④式和题给条件得OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有α＝30°⑥
由①②⑥式得n＝。
8．(2017·全国卷Ⅱ)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
答案 1.55
解析 设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1。在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点，设光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示。
设液体的折射率为n，由折射定律有
nsini1＝sinr1①
nsini2＝sinr2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得n2＝④
由几何关系可知sini1＝＝⑤
sini2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得n≈1.55。
9．(2017·全国卷Ⅰ)如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。
答案 1.43
解析 如图，依题意，射出的光线恰好与入射光线平行，根据光路的对称性和光路可逆性，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射。
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r。由折射定律有sini＝nsinr①
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i。
由正弦定理有＝②
由题设条件和几何关系有sini＝③
式中L是入射光线与OC的距离。由②③式和题给数据得
sinr＝④
由①③④式和题给数据得n＝≈1.43。
10．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求：
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。
答案 (1)R (2)2.74R
解析 (1)如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时恰好不能射出，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l。
i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有nsinic＝1②
由几何关系有sini＝③
联立①②③式并利用题给条件，得l＝R。④
(2)设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有nsini1＝sinr1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
＝⑥
由几何关系有∠C＝r1－i1⑦
sini1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得OC＝R≈2.74R。
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