2021高三物理人教版一轮学案：专题强化一　板块模型

专题强化一　板块模型

问题特点：该类问题一般是叠加体的运动，一物体在另一物体表面相对滑动，它们之间的联系即相互间的摩擦力，运动一段时间后达到共同速度，或具有相同的加速度，达到相对稳定状态。该类问题过程较多，需要搞清各过程间的联系，需要学生具有较强的建模能力和过程分析能力，能综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律解题。属于高考热点和难点问题，难度较大。

策略方法：抓住两物体间的联系，靠摩擦力联系在一起，对两个物体分别做好受力分析，对于是否相对滑动难以判断时可采用假设分析的方法进行判断，用相互间的作用力是否大于最大静摩擦力，来判断是否相对滑动。搞清其运动过程，画出对地运动的过程示意图，帮助分析运动过程，搞清对地位移和相对位移之分；必要时画出两物体运动过程的v－t图象帮助解决问题。

解题步骤：

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水平面上的板块模型

例1　一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块。在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图(a)所示。t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反，运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s时间内小物块的v－t图线如图(b)所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：

(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；

(2)木板的最小长度；

(3)木板右端离墙壁的最终距离。

[解析]　(1)根据图象可以判定碰撞前小物块与木板共同速度为v＝4 m/s

碰撞后木板速度水平向左，大小也是v＝4 m/s

小物块受到滑动摩擦力而向右做匀减速运动，根据牛顿第二定律有μ2g＝

解得μ2＝0.4

木板与墙壁碰撞前，匀减速运动时间t＝1 s

位移x＝4.5 m，末速度v＝4 m/s

其逆运动则为匀加速直线运动，可得x＝vt＋at2

代入可得a＝1 m/s2

小物块和木板整体受力分析，滑动摩擦力提供合外力，即μ1g＝a

可得μ1＝0.1

(2)碰撞后，木板向左匀减速，依据牛顿第二定律有

μ1(M＋m)g＋μ2mg＝Ma1

可得a1＝ m/s2

对小物块，则有加速度a2＝4 m/s2

小物块速度先减小到0，此时碰后时间为t1＝1 s

此时，木板向左的位移为x1＝vt1－a1t＝ m

末速度v1＝ m/s

小物块向右位移x2＝t1＝2 m，此后小物块开始向左加速，加速度仍为a2＝4 m/s2

木板继续减速，加速度仍为a1＝ m/s2

假设又经历t2二者速度相等

则有a2t2＝v1－a1t2

解得t2＝0.5 s

此过程，木板位移x3＝v1t2－a1t＝ m

末速度v3＝v1－a1t2＝2 m/s

小物块位移x4＝a2t＝ m

此后小物块和木板一起匀减速运动

二者的相对位移最大为Δx＝x1＋x3＋x2－x4＝6 m

小物块始终没有离开木板，所以木板最小的长度为6 m

(3)最后阶段小物块和木板一起匀减速直到停止，整体加速度a＝μ1g＝1 m/s2

位移x5＝＝2 m

所以木板右端离墙壁最远的距离为x1＋x3＋x5＝6.5 m

[答案]　(1)0.1　0.4　(2)6.0 m　(3)6.5 m

方法技巧：

板块模型相关问题

滑块—木板类问题涉及两个物体，并且物体间存在相对运动。滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板向同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移大小之差等于木板的长度；若滑块和木板向相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移大小之和等于木板的长度。

该模型涉及两个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以解题的关键是确定各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，并找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系。求解时应明确联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。

斜面上的板块模型

例2　

下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l＝27 m，C足够长。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：

(1)在0～2 s时间内A和B加速度的大小；

(2)A在B上总的运动时间。

[解析]　(1)在0～2 s内，A和B受力如图所示：

由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得：

f1＝μ1N1  ①

N1＝mgcos θ  ②

f2＝μ2N2  ③

N2＝N1＋mgcos θ  ④

以沿着斜面向下为正方向，设A和B的加速度分别为a1，a2。由牛顿第二定律可得：

mgsin θ－f1＝ma1  ⑤

mgsin θ－f2＋f1＝ma2  ⑥

联立以上各式可得a1＝3 m/s2  ⑦

a2＝1 m/s2  ⑧

(2)在t1＝2 s，设A和B的速度分别为v1，v2，则

v1＝a1t1＝6 m/s  ⑨

v2＝a2t1＝2 m/s  ⑩

t>t1时，设A和B的加速度分别为a′1，a′2，此时A、B之间摩擦力为零，同理可得：

a′1＝6 m/s2  ⑪

a′2＝－2 m/s2  ⑫

即B做匀减速，设经时间t2，B的速度为零，则：

v2＋a′2t2＝0  ⑬

联立⑫⑬可得t2＝1 s  ⑭

在t1＋t2时间内，A相对于B运动的距离为

s＝－＝12 m<27 m  ⑮

此后B静止不动，A继续在B上滑动，设再经时间t3后，A离开B，则有l－s＝(v1＋a′1t2)t3＋a′1t

可得，t3＝1 s(另一解不合题意，舍去)

设A在B上的运动时间为t总

t总＝t1＋t2＋t3＝4 s

(利用下面的速度图象求解，正确的，参照上述答案参考)

[答案]　(1)3 m/s2　1 m/s2　(2)4 s

〔专题强化训练〕

1．(2019·山东大学附中月考)(多选)如图所示，一质量为M的斜面体静止在水平地面上，斜面倾角为θ，斜面上叠放着A、B两物体，物体B在沿斜面向上的力F的作用下沿斜面匀速上滑。若A、B之间的动摩擦因数为μ，μ<tan θ，A、B质量均为m，重力加速度为g，则(　BD　)

A．A、B保持相对静止

B．A、B一定相对滑动

C．B与斜面间的动摩擦因数为

D．B与斜面间的动摩擦因数为

[解析]　因为μ<tan θ，选A为研究对象，则满足mgsin θ>μmgcos θ，所以A、B一定相对滑动，A错误，B正确；选物体B为研究对象，由牛顿第二定律得F－μmgcos θ－mgsin θ－μB·2mgcos θ＝0，μB＝，故C错误，D正确。

2．(2019·河南郑州一模)如图所示，a、b两个物体静止叠放在水平桌面上，已知ma＝mb＝m，a、b间的动摩擦因数为μ，b与地面间的动摩擦因数为μ。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对a施加一水平向右的拉力F，下列判断正确的是(　A　)

A．若a、b两个物体始终相对静止，则水平拉力F不能超过μmg

B．当水平拉力F＝μmg时，a、b间的摩擦力为μmg

C．无论水平拉力F为何值，b的加速度不会超过μg

D．当水平拉力F>μmg时，b相对a滑动

[解析]　本题考查板块模型中的临界问题。a、b之间的最大静摩擦力为fmax＝μmg，b与地面间的最大静摩擦力为f′max＝×2μmg＝μmg，a、b相对地面一起运动，刚好不发生相对滑动时，由牛顿第二定律，对b有μmg－μmg＝ma0，解得a0＝μg，对整体有F0－μmg＝2ma0，解得F0＝μmg，所以若a、b两个物体始终相对静止，则水平拉力F不能超过μmg，当水平拉力F>μmg时，b相对a滑动，故A正确、D错误；当水平拉力F＝μmg时，a、b一起加速运动，加速度为a1＝＝μg，对a根据牛顿第二定律可得F－f1＝ma1，解得a、b间的摩擦力为f1＝μmg，故B错误；根据A选项的分析可知，无论水平拉力F为何值，b的加速度不会超过μg，故C错误。

3．(2019·江苏，15)如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：

(1)A被敲击后获得的初速度大小vA；

(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、a′B；

(3)B被敲击后获得的初速度大小vB。

[答案]　(1)　(2)3μg　μg　(3)2

[解析]　A、B的运动过程如图所示

(1)由牛顿运动定律知，A加速度的大小　aA＝μg

匀变速直线运动　2aAL＝v

解得　vA＝

(2)设A、B的质量均为m

对齐前，B所受合外力大小　F＝3μmg

由牛顿运动定律F＝maB，得　aB＝3μg

对齐后，A、B整体所受合外力大小　F′＝2μmg

由牛顿运动定律F′＝2ma′B，得　a′B＝μg

(3)经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为xA、xB，A加速度的大小等于aA

则　v＝aAt，v＝vB－aBt

xA＝aAt2，xB＝vBt－aBt2

且　xB－xA＝L

解得　vB＝2

4．(2020·黑龙江哈尔滨三中一模)光滑水平地面上有一质量M＝2 kg的木板以速度v0＝10 m/s向右匀速运动，在t＝0时刻起对其施加一向左的恒力F＝8 N。经t＝1 s时，将一质量m＝2 kg可视为质点的小物块以初速度为零放在木板右端。物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2，木板足够长。求：

(1)刚放上小物块时木板的速度；

(2)物块在木板上相对木板滑动的时间。

[答案]　(1)6 m/s　(2)0.5 s

[解析]　本题考查板块模型的运动和受力问题。

(1)对木板进行分析，0～1 s内，木板在F作用下做匀减速运动，有F＝Ma1，

解得木板的加速度大小a1＝4 m/s2，

由于木板做匀减速直线运动，可得t＝1 s时，木板的速度为v1＝v0－a1t＝6 m/s。

(2)物块放在木板上后，二者间存在摩擦力作用，摩擦力f＝μmg，

对物块进行分析，物块在摩擦力作用下加速，满足f＝ma2，

解得物块的加速度a2＝4 m/s2，

对木板进行分析，木板在摩擦力与F共同作用下减速，满足F＋f＝Ma3，

解得木板的加速度a3＝8 m/s2，

当二者共速时有v共＝a2t′＝v1－a3t′，

解得t′＝0.5 s，

由于F＝(M＋m)a4，

解得a4＝2 m/s2<μg＝4 m/s2，

所以此后木板与物块相对静止，共同减速，物块在木板上相对木板滑动的时间t′＝0.5 s。

5．(2019·重庆南开中学模拟)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面上有一固定挡板C，长度为l1＝10 m的木板B(与挡板C厚度相同)上有一长度为l2＝2 m的木板A，A、B右端齐平，B与斜面之间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A、B之间的动摩擦因数为μ2。现由静止释放A、B，两者相对静止一起向下加速，经过时间t＝2 s长木板B与C碰撞，碰后B立即停止运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)B与C相碰时A的速度；

(2)要使A最左端不滑离B，A、B之间的动摩擦因数μ2应满足的条件。

[答案] (1)4 m/s　(2)μ2≥

[解析]　本题考查板块模型的多过程问题、临界问题。

(1)A、B一起向下加速的加速度为

a1＝gsin θ－μ1gcos θ＝2 m/s2，

则B与C相碰时A的速度为v＝a1t，

可得v＝4 m/s。

(2)当B停止后，A向下做减速运动，加速度为

a2＝μ2gcos θ－gsin θ，

由运动学公式有v2＝2a2Δl＝2a2(l1－l2)，

可得μ2＝，

则要使A不滑出B，A、B之间的动摩擦因数应满足μ2≥。