2021高三物理人教版一轮学案：专题强化八　电磁感应中的动量问题

专题强化八　电磁感应中的动量问题

电磁感应中的动量问题，是导体切割磁感线运动过程中力、能、电、动量的综合应用，此类问题是高考命题的趋势。主要类型有：用动量定理解决电磁感应问题，用动量守恒定律解决电磁感应问题。

一、用动量定理解决电磁感应问题

导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。

当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解更方便。

　例1　(2019·浙江质检)如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属U形导轨，导轨右侧接一阻值R＝3 Ω的电阻。在U形导轨中间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T。现有一质量为m＝0.1 kg，电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒MN以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场的过程中，线圈中的感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示。已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒MN穿过磁场的过程中，求：

(1)MN刚进入磁场时的初速度大小；

(2)电阻R产生的焦耳热；

(3)导体棒通过磁场的时间。

[解析]　本题考查电磁感应中的动力学问题和功能关系。

(1)由题图乙可知，MN刚进入磁场时的电流I1＝0.5 A，

根据闭合电路欧姆定律得I1＝，

根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv0，

联立解得v0＝＝5 m/s。

(2)导体棒通过磁场过程，由动能定理得

－μmgd－W安＝mv2－mv，

而v＝＝3 m/s，

电阻R产生的焦耳热QR＝W安，

联立解得QR＝0.3 J。

(3)导体棒通过磁场过程，取向右为正方向，由动量定理得－μmgt－BLt＝mv－mv0，

t＝＝，

联立解得t＝0.5 s。

[答案]　(1)5 m/s　(2)0.3 J　(3)0.5 s

二、用动量守恒定律解决电磁感应问题

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。

　例2　(2020·湖北七市(州)联考)如图所示，光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的B＝4 T的匀强磁场中，两导轨间距为L＝0.5 m，导轨足够长且不计电阻。金属棒a和b的质量都为m＝1 kg，连入导轨间的电阻Ra＝Rb＝1 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝80 cm高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两棒始终不相碰，求a、b两棒的最终速度，以及整个过程中b棒中产生的焦耳热(已知重力加速度g＝10 m/s2)。

[解析]　设a棒下滑到C点时速度为v0，由动能定理，有：

mgh＝mv－0

解得：v0＝4 m/s；

此后的运动过程中，a、b两棒达到共速前，两棒所受安培力始终等大反向，因此a、b两棒组成的系统动量守恒，有：

mv0＝(m＋m)v

解得a、b两棒共同的最终速度为：v＝2 m/s，

此后两棒一起做匀速直线运动；

由能量守恒定律可知，整个过程中回路产生的总焦耳热为：

Q＝mv－(m＋m)v2

则b棒中产生的焦耳热为：Qb＝Q

解得：Qb＝2 J。

[答案]　2 m/s　2 J

〔专题强化训练〕

1．(多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab、cd，与导轨一起构成闭合回路。两根导体棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，其余部分的电阻不计。在整个导轨所在的平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则(　BC　)

A．导体棒ab刚获得速度v0时受到的安培力大小为

B．两导体棒最终将以的速度沿导轨向右匀速运动

C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为mv

D．当导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的加速度大小为

[解析]　当导体棒ab刚获得速度v0时，导体棒cd还没开始运动，此时导体棒ab产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为I＝，故此时导体棒ab受到的安培力大小为F＝BIL，解得F＝，选项A错误；从开始到两导体棒达到共同速度的过程中，两导体棒的总动量守恒，则可得mv0＝2mv，解得其共同速度为v＝，方向沿导轨向右，选项B正确；由能量守恒定律得，整个运动过程中产生的总热量为Q＝mv－×2mv2，解得Q＝mv，选项C正确；设导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv0＝m·v0＋mv1，此时回路中的感应电动势为E′＝BL(v0－v1)，感应电流为I′＝，此时导体棒cd受到的安培力为F′＝BI′L，所以导体棒cd的加速度大小为a＝，解得a＝，选项D错误。

2．如图所示，足够长的水平导轨左侧b1b2－c1c2部分导轨间距为3L，右侧c1c2－d1d2部分的导轨间距为L，曲线导轨与水平导轨相切于b1b2，所有导轨均光滑且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。质量为mB＝0.2 kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为mA＝0.1 kg的金属棒A自曲线导轨上a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，B棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：

(1)A棒滑到b1b2处时的速度大小；

(2)B棒匀速运动时的速度大小；

(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。

[答案]　(1)3 m/s　(2) m/s　(3)29.6 m2

[解析]　(1)A棒在光滑曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得：

mAgh＝mAv

解得：v0＝3 m/s。

(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理，

对B棒：FB安cos θ·t＝mBvB

对A棒：－FA安cos θ·t＝mAvA－mAv0

其中FA安＝3FB安

两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有：

BLvB＝3BLvA

解得：vA＝ m/s，vB＝ m/s。

(3)在B棒加速运动过程中，由动量定理得：

Bcos θLΔt＝mBvB－0

电路中的平均电流＝

根据法拉第电磁感应定律有：E＝

其中磁通量变化量：ΔΦ＝Bcos θΔS

解得：ΔS≈29.6 m2。

3．(2019·安徽蚌埠二模)如图所示，质量M＝1 kg的半圆弧形绝缘凹槽放置在光滑的水平面上，凹槽部分嵌有cd和ef两个光滑半圆形导轨，c与e端由导线连接，一质量m＝1 kg的导体棒自ce端的正上方h＝2 m处平行ce由静止下落，并恰好从ce端进入凹槽，整个装置处于范围足够大的竖直方向的匀强磁场中，导体棒在槽内运动过程中与导轨接触良好。已知磁场的磁感应强度大小B＝0.5 T，导轨的间距与导体棒的长度均为L＝0.5 m，导轨的半径r＝0.5 m，导体棒的电阻R＝1 Ω，其余电阻均不计，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。

(1)求导体棒刚进入凹槽时的速度大小；

(2)求导体棒从开始下落到最终静止的过程中系统产生的热量；

(3)若导体棒从开始下落到第一次通过导轨最低点的过程中产生的热量为16 J，求导体棒第一次通过最低点时回路中的电功率。

[答案]　(1)2 m/s　(2)25 J　(3) W

[解析]　本题考查导体棒做圆周运动切割磁感线问题。

(1)根据机械能守恒定律有mgh＝mv2，

解得导体棒进入凹槽时的速度大小v＝2 m/s。

(2)导体棒在凹槽导轨上运动过程中切割磁感线产生感应电动势，回路中，产生感应电流，最终整个系统处于静止状态，导体棒停在凹槽最低点，

根据能量守恒定律可知，导体棒从开始下落到最终静止的过程中系统产生的热量Q＝mg(h＋r)＝25 J；

(3)设导体棒第一次通过导轨最低点时速度大小为v1，凹槽速度大小为v2，导体棒在凹槽内运动时系统在水平方向动量守恒，故有mv1＝Mv2，

由能量守恒定律有mv＋Mv＝mg(h＋r)－Q1，

导体棒第一次通过最低点时感应电动势E＝BLv1＋BLv2，

回路电功率P＝，

联立解得P＝ W。