模板八：利用基本不等式求最值 试卷
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模板 构建 | 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下: |
典型 例题 | （2020·江苏省西亭高级中学高三三模）已知，，且，则的最大值为______. |
试题 解析 | ∵，，且 ∴ ∵ ∴，当且仅当时取等号. 令，原不等式转化为，解得. ∴，故答案为：. |
题后 反思 | 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. |
针对训练*举一反三 | |
1．（2020·浙江省高三二模）若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，， 若，则，当且仅当时取等号，所以； 当，时，，但； “”是“”充分不必要条件.故选：A. 2．（2020·湖北省高三二模）在正方形中，已知，，，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，线段所在直线分别为轴， 建立平面直角坐标系如图： 设，，则 由，得， 化简可得， 故，即， 因为，故， 当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围为.故选:A 3．（2020·陕西省西安中学高三三模）若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ） A．9 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为， 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，， 又， ∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是9．故选：A． 4．（2020·浙江省温岭中学高三二模）若正实数，满足，则的最小值为（ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】根据题意，若正实数，满足， 则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C 5．（2020·河南省高三二模）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】，、、成等比数列， ． 得或（舍去）， ， ， ． 令，则 当且仅当，即时，的最小值为2．故选：D． 6．（2020·江苏省高三二模）已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由已知，所以，故， 令，原式 ，当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 7．（2020·湖北省高三二模）已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】由题意可变为，其准线为， 设点， 则，， 所以， 当时，； 当时，； 当时，，当且仅当时，等号成立，此时， 所以； 当时，，当且仅当时，等号成立，此时， 所以； 综上所述，的最小值为.故答案为：. 8．（2020·西藏自治区山南二中高三二模）若，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】因为（即 取等号）， 所以最小值为. 9．（2020·浙江省高三二模）已知非零平面向量，，，满足，，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】由得（是，的夹角）． ∴， ∴不妨设，， ∴， 再令， 则． 对于分母，再令， 当时，. 当时，则分母可化为：， ∵，当且仅当时取等号， ∴，∴．故答案为：． 10．（2020·广东省高三二模）设a∈R，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____． 【答案】[4﹣6，4+6] 【解析】|x3|+|x3|+ax≥4x﹣8恒成立， 即为|x3|+|x3|+8≥（4﹣a）x恒成立， 当x＞0时，可得4﹣a≤|x2|+|x2|的最小值， 由|x2|+|x2||x2x2|2x22x236， 当且仅当x3＝2即x取得最小值6，即有4﹣a≤6，则a≥4﹣6； 当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x2|+|x2|]的最大值， 由|x2|+|x2|2x22x236， 当且仅当x3＝﹣2即x取得最大值﹣6，即有4﹣a≥﹣6，则a≤4+6， 综上可得4﹣6a≤4+6， 故答案为：[4﹣6，4+6]． | |
