2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.10　变化率与导数、导数的计算

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第十节　变化率与导数、导数的计算

知识体系

必备知识

1.导数的概念

(1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义.

称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′,即f′(x0)==

.

(2)导数的几何意义.

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

(3)函数f(x)的导函数.

称函数f′(x)=为f(x)的导函数.

2.基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

(3)′=(g(x)≠0).

4.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=

yu′·ux′.

1.注意点:求导函数的注意点

(1)求导函数时,由于求导公式记错而导致错误.

(2)复合函数求导时容易忽略内函数的导数.

2.易错点:切线问题易混的两个概念

求曲线的切线时,没有理解在点P处的切线与过点P处的切线而致错.

基础小题

1.已知f(x)=lg x,函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:

①0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2);

②0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2);

③>0;

④f<.

上述结论中正确结论的个数是 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.对于①②,由于f′(3),f′(2)分别表示f(x)在x=3,x=2处的切线斜率,f(3)-f(2)表示(2,f(2))与(3,f(3))两点连线的斜率,画出f(x)的图象,数形结合判断出①对,②错.

对于③,表示y=lg x上任两个点的连线的斜率,由于f(x)=lg x是增函数,故有>0成立,故③正确.

对于④,由于f(x)的图象是上凸的,

所以有f>,故④不正确.

2.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为  (　　)

A.y=3x-1  B.y=-3x+5

C.y=3x+5  D.y=2x

【解析】选A.y′=-3x2+6x,y′|x=1=3,

切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.

3.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于 (　　)

A.e2  B.e  C.  D.ln 2

【解析】选B.因为f(x)=xln x,

所以f′(x)=ln x+1,所以f′(x0)=ln x0+1=2,

所以x0=e.

4.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为________. 

【解析】因为y=ln x的导数y′=,所以令=得x=2,所以切点为(2,ln 2).

代入直线y=x+b得b=ln 2-1.

答案:ln 2-1

5.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=________. 

【解析】 f′(x)=4ax3+2bx,

f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b),

f′(1)=4a+2b,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.

答案:-2

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