2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.3　函数的奇偶性与周期性

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第三节　函数的奇偶性与周期性

知识体系

必备知识

1.函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

3.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

4.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).

(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).

易错点:

(1)函数的奇偶性及周期性的三个易错点

①应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内.

②判断函数的奇偶性,易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

③判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0),对于偶函数的判断以此类推.

(2)判断分段函数奇偶性的易错点

判断分段函数的奇偶性时,误用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性.

基础小题

1.设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数,对于下列命题

①若y=f(x)是奇函数,则y=f(f(x))也是奇函数.

②若y=f(x)是周期函数,则y=f(f(x))也是周期函数.

③若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均为以T为周期的函数,则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数.

④若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均是增函数,则f(x),g(x),h(x)均是增函数.

其中正确的是 (　　)

A.①②③  B.①②④  C.②③④  D.①③④

【解析】选A.①y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以

f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))也是奇函数,正确.

②若y=f(x)是周期函数,则f(x+T)=f(x),

f(f(x+T))=f(f(x))也是周期函数,正确.

③f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T),f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T),h(x)+g(x)=h(x+T)+

g(x+T),前两式作差可得h(x)-g(x)=h(x+T)-g(x+T)

结合h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T)得h(x)=h(x+T),g(x)=g(x+T),同理f(x)=f(x+T),故③正确;对于④不妨设f(x)=2x,g(x)=-x,h(x)=3x,

f(x)+g(x)=x,f(x)+h(x)=5x,g(x)+h(x)=2x都是定义域R上的增函数,但g(x)=

-x不是增函数,故④错误.

2.(教材改编)已知奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有              (　　)

A.最大值M B.最大值-M

C.最小值M D.最小值-M

【解析】选D.根据奇函数的图象关于原点对称知,

f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.

3.(教材改编)下列函数为奇函数的是 (　　)

A.y=  B.y=|sinx|

C.y=-cosx D.y=ex-e-x

【解析】选D.对于A,函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,B和C是偶函数,对于D,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故为奇函数.

4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+,则f(-1)= (　　)

A.-2 B.0 C.1 D.2

【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-2.

5.若函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x-1,则当x<0时,有 (　　)

A.f(x)>0    B.f(x)<0

C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)-f(-x)>0

【解析】选C.f(x)为奇函数,当x<0时,-x>0,

所以f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,

所以f(x)·f(-x)=-(x+1)2≤0.

6.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1+x),则f=

________. 

【解析】因为f(x)是周期为2的奇函数,

所以f=-f=-f=-.

答案:-

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