2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.7 抛物线 学案
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核心考点·精准研析
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( )
A.(2,-2) B.(1,2) C.(1,-2) D.(-1,2)
2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )
A. B.2 C. D.3
3.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________. 世纪金榜导学号
5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).
2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.
3.选C.由已知得抛物线的焦点F,
设点M(x0,y0),则=,=.
由已知得,·=0,即-8y0+16=0,
因而y0=4,M.
由|MF|=5,得 =5.
又p>0,解得p=2或p=8.
故C的方程为y2=4x或y2=16x.
4.如图,
过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
答案:4
5.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
则焦点F,A,B,
将A代入抛物线方程,
可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,
设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.
答案:16
1.抛物线定义的应用
利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.
②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:
方法一 | 分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解 |
方法二 | 设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程 |
考点二 直线与抛物线的综合问题
【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则= ( )
A. B. C. D.
2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为( )
A.± B.±1 C.± D.±
3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. 世纪金榜导学号
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.
(2)若=3,求|AB|.
【解题导思】
序号 | 联想解题 |
1 | 一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化 |
2 | 当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法 |
3 | 当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论 |
【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,
设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,
因为∠ABN=60°,于是=,
解得n=3m,
则==.
2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4,
由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)
=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.
3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-=,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
1.直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|= ( )
A.6 B.3 C.8 D.9
【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),
|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,
解得t2=或t2=-(舍),
所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.
2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=.
答案:
3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.
【解析】(1)由
整理得y2-2ty-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.
所以·=x1x2+y1y2=y1y2+
=(-4)+=0,
所以⊥,即OA⊥OB.
(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB=·|OE|(|y1|+|y2|)
=|y1-y2|==2,解得t=±.
考点三 抛物线的性质及应用
命 题 精 解 读 | 考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法. 怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题. 新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点. |
学 霸 好 方 法 | 1.定义的应用 当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化. 2.交汇问题 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题. |
与抛物线有关的最值问题
【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.
(1)求p的值.
(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.
【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,
焦点到准线的距离为2,即p=2.
(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y'=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),
l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),
由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.
设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得 所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.
联立方程得: 即M(2k,-1).
M点到直线l的距离d==,
|AB|==4(1+k2),
所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,
当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.
抛物线与向量的综合问题
【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.世纪金榜导学号
(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=
+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.
(2)由(1)知,x2-5x+4=0,
所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
所以A(1,-2),B(4,4).
设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为 ( )
A.y2=2x B.y2=3x
C.y2=4x D.y2=6x
【解析】选B.由题意可知,抛物线的图形如图:
|AB|=3,|BC|=3,
可得|AC|==6,
所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,
又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.
2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
【解析】直线l斜率必存在,由题可得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故直线l斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.故k的取值范围为[-1,1].
答案:[-1,1]
1.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+
(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图象(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=________.
【解析】如图,
设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以∠FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=×2=,即|FB|=,所以|MF|=5.
答案:5
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