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    2021高考数学一轮复习学案:第二章2.5指数与对数
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    2021高考数学一轮复习学案:第二章2.5指数与对数

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    §2.5 指数与对数

    1根式

    (1)根式的概念

    根式的概念

    符号表示

    备注

    如果axn,那么x叫做an次实数方根

     

    n>1nN*

    n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数

    0n次实数方根是0

    n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数

    ±

    负数没有偶次方根

     

    (2)两个重要公式

    ()na(注意a必须使有意义)

    2有理指数幂

    (1)分数指数幂的表示

    正数的正分数指数幂是(a>0mnN*n>1)

    正数的负分数指数幂是(a>0mnN*n>1)

    0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义

    (2)有理指数幂的运算性质

    asatast(a>0tsQ)

    (as)tast(a>0tsQ)

    (ab)tatbt(a>0b>0tQ)

    3对数的概念

    (1)对数的定义

    一般地如果a(a>0a1)b次幂等于NabN那么称b是以a为底N的对数记作blogaN其中a叫做对数的底数N叫做真数

    底数的对数是1logaa1,1的对数是0loga10.

    (2)几种常见对数

    对数形式

    特点

    记法

    一般对数

    底数为a(a>0a1)

    logaN 

    常用对数

    底数为10

    lg_N

    自然对数

    底数为e

    ln_N

     

    4对数的性质与运算法则

    (1)对数的性质

    N(a>0a1N>0)

    logaaNN(a>0a1)

    (2)对数的重要公式

    换底公式logbN(ab均大于零且不等于1N>0)

    logab(ab均大于零且不等于1)

    (3)对数的运算法则

    如果a>0a1M>0N>0那么

    loga(MN)logaMlogaN

    logalogaMlogaN

    logaMnnlogaM(nR)

    logaM.

    概念方法微思考

    根据对数的换底公式

    (1)思考logablogba的关系

    (2)化简.

    提示 (1)logab·logba1

    (2)logab.

     

     

     

    题组一 思考辨析

    1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)

    (1)()na(nN*)( × )

    (2)分数指数幂可以理解为a相乘( × )

    (3)2a·2b2ab.( × )

    (4)MN>0loga(MN)logaMlogaN.( × )

    (5)lg x21x.( × )

    题组二 教材改编

    2计算(9.6)0×2________.

    答案 

    3计算(lg 5)2lg 2×lg 50________.

    答案 1

    4已知lg 6alg 12b那么用ab表示lg 24________.

    答案 2ba

    题组三 易错自纠

    5计算________.

    答案 2

    6下列各式

    a(a22a3)01log318log322.

    其中正确的是________(填序号)

    答案 

    解析 错误;

    a22a30时,(a22a3)01错误;

    =-错误;

    log318log32log392正确

     

     

    7(多选)下列运算结果中一定正确的是(  )

    Aa3a4a7   B(a2)3a6

    C.a   D.=-π

    答案 AD

    解析 a3a4a34a7,故A正确;

    a1时,显然不成立,故B不正确;

    |a|,故C不正确;

    =-πD正确

    指数幂的运算

    1.(a>0)的值是________

    答案 

    解析 .

    2计算2××________.

    答案 6

    解析 原式=

    3.________.

    答案 

    解析 原式=.

    4________.

    答案 

    解析 ,两边平方,得xx17

    再平方得x2x247.

    x2x2245.

    3×(71)18.

    思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:

    必须同底数幂相乘,指数才能相加;

    运算的先后顺序

    (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数

    (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数

    对数的运算

    12a5bm2m________.

    答案 

    解析 由已知,得alog2mblog5m

    logm2logm5logm102.

    解得m.

    2计算÷________.

    答案 20

    解析 原式=(lg 22lg 52)×lg×10

    lg 102×10=-2×10=-20.

    3计算________.

    答案 1

    解析 原式

    1.

    4(2019·北京)在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg 其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7天狼星的星等是1.45则太阳与天狼星的亮度的比值为(  )

    A1010.1  B10.1  Clg 10.1  D1010.1

    答案 A

    解析 两颗星的星等与亮度满足m2m1lg

    m2=-1.45m1=-26.7

    lg ·(m2m1)(1.4526.7)10.1

    所以1010.1.

    思维升华 对数运算的一般思路

    (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并

    (2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算

    指数与对数的综合运算

    (1)已知均不为1的正数abc满足axbycz0abc的值

     axbyczk.

    由已知k>0k1

    于是xlg aylg bzlg clg k

    .

    因为0

    所以0

    0.

    lg(abc)0,得abc1.

    (2)logaClogbC是方程x23x10的两根的值

     由题意,得

    于是有

    (logCalogCb)2(logCalogCb)24logCa·logCb

    3245

    logCalogCb±.

    于是1±.

    思维升华 指数、对数的综合运算,要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式,建立已知条件和所求式子间的联系

    跟踪训练 (1)(2019·南京模拟)alog231blog3519a5b________.

    答案 7

    解析 alog32blog53

    于是9a5b

    3437.

    (2)方程3x1的实数解为________

    答案 xlog32

    解析 原方程可化为2(3x)25·3x180

    (3x2)(2·3x9)0,3x2(2·3x=-9舍去)

    xlog32.

     

    (3)log2log3xlog3log2ylog2log2z1x2y3z4从小到大的排列为________

    答案 x2<z4<y3

    解析 由题设得log3x2log2y3log2z2

    x32y23z22,故x234y329z428

    所以x2<z4<y3.

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