2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.5 对数函数
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第五节 对 数 函 数
知识体系
必备知识
1.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质.
①loga1=0;②logaa=1.
(2)对数恒等式.
=N.(其中a>0且a≠1)
(3)对数的换底公式.
logbN=(a,b均大于零且不等于1,N>0).
(4)对数的运算法则.
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(5)换底公式的两个重要结论
①logab=;②lobn=logab.
其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.
3.对数函数的定义、图象与性质
定义 | 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数 | |
图象 | a>1 | 0<a<1 |
性质 | 定义域:(0,+∞) | |
值域:(-∞,+∞) | ||
当x=1时,y=0,即过定点(1,0) | ||
当0<x<1时,y<0; 当x>1时,y>0 | 当0<x<1时,y>0; 当x>1时,y<0 | |
在(0,+∞)上为增函数 | 在(0,+∞)上为减函数 | |
4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
1.注意点:对数的运算性质的注意点
对于对数的运算性质,要注意只有当式子中所有的对数都有意义时等式才能成立.
2.易错点:求对数函数的单调区间的易错点
求对数函数的单调区间时,一定要注意对数函数的定义域.
基础小题
1.下列各式:
①(log23)2=2log23;②log232=2log23;
③log26+log23=log218;④log26-log23=log23.
其中正确的有________.
【解析】①(log23)2≠2log23=log232,故①错误;
②log232=2log23,故②正确;
③log26+log23=log218,故③正确;
④log26-log23=log22≠log23,故④错误.
答案:②③
2.(教材改编)计算lg 4+lg 25= ( )
A.2 B.3 C.4 D.10
【解析】选A.原式=lg(4×25)=lg 102=2.
3.(教材改编)设2a=5b=m,且+=2,则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
【解析】选A.由已知,得a=log2m,b=log5m,
则+=+=logm2+logm5=logm10=2.
解得m=.
4.已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为 ( )
A.24 B.16 C.12 D.8
【解析】选A.因为3<2+log23<4,所以
f(2+log23)=f(3+log23)==8×=24.
5.函数f(x)=的定义域是 ( )
A.(-3,0) B.(-3,0]
C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(-3,0)
【解析】选A.因为f(x)=,所以要使函数f(x)有意义,需使即-3<x<0.
6.函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象必定经过的点的坐标为________.
【解析】由已知可得函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)必过(2,0).
答案:(2,0)
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