2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第二章第四讲　函数的奇偶性与周期性


第四讲　函数的奇偶性与周期性
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
知识点二　函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．奇(偶)函数定义的等价形式
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)⇔f(x)为奇函数．
2．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.
3．函数图象的对称关系
(1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；
(2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称．
4．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
(2)函数f(x)＝＋为奇函数；
(3)函数f(x)＝loga 为奇函数；
(4)函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数．


题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的为(　BCD　)
A．若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0
B．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称
C．若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称
D．2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期
题组二　走进教材
2．(必修1P35例5改编)函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个数是2.
3．(必修1P45T6改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是减函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是减函数．
4．(必修4P46T10改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log3(x2＋3)，则f(2019)＝1.
题组三　考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　D　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[解析]　解法一：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D．
解法二：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D．
6．(2018·全国卷Ⅱ，5分)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　C　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析]　解法一：∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C．
解法二：由题意可设f(x)＝2sin(x)，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故选C．



KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　函数的奇偶性
考向1　判断函数的奇偶性——自主练透
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(1＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(4)f(x)＝
(5)f(x)＝；
(6)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
[分析]　先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
[解析]　(1)由题意得≥0且x≠－1，
∴－1 ∴f(x)不存在奇偶性，为非奇非偶函数．
(2)由得x＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
由得
故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0.从而有f(x)＝＝，这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(6)已知对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，不妨取x＝0，y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.
取x＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(y)＝f(－y)．又y∈R，所以函数f(x)是偶函数．

名师点拨 ☞
判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．
(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2　函数的性质的综合应用——多维探究
角度1　利用奇偶性求参数的值或取值范围
例2 (1)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝(　B　)
A．－ B．
C． D．－
(2)已知f(x)＝－是R上的奇函数，则f(a)的值为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)依题意b＝0，且2a＋(a－1)＝0，
∴a＝，则a＋b＝.
(2)因为f(x)＝－是R上的奇函数，所以f(0)＝－＝0，得a＝3，所以f(x)＝－.所以f(a)＝f(3)＝－＝.故选A．
角度2　函数奇偶性与单调性结合
例3 (1)若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为减函数，则不等式f(x)＋f(x－)<0的解集为(　C　)
A．(，＋∞) B．(－1，)
C．(，1) D．(，1)
(2)(2020·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
[解析]　(1)由已知得f(x)在(－1,1)上为递减，
∵f(x)＋f(x－)<0，∴f(x－) ∴解得 (2)由y＝f(x)图象知，x离y轴越近，函数值越小，因此，|2x－1|<，解得 角度3　函数奇偶性与周期性结合
例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－，当1 [分析]　先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f(2 020)转化为f(4)，进而转化为f(2)，把x＝2代入即可．
[解析]　由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－＝－＝f(x)，故函数f(x)的周期为6，
∴f(2 020)＝f(6×336＋4)＝f(4)．
∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，
则f(4)＝f(1＋3)＝－＝－＝f(2)＝cos ＝－，
∴f(2 020)＝－.
角度4　单调性、奇偶性和周期性结合
例5 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则(　D　)
A．f(－25) C．f(11) [分析]　
→→
[解析]　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)
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函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2019·北京，13,5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝－1.
(2)(角度2)(2019·广东省广州市高三测试，9)若f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝0，且在(0，＋∞)上是增函数，则x·[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　D　)
A．{x|－33}
B．{x|x<－3或0 C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3 (3)(角度3)(2020·广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f()＝(　D　)
A． B．
C．－ D．－
(4)(角度4)(2020·湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是(　B　)
A．f(－4.5) B．f(3.5) C．f(12.5) D．f(3.5) [解析]　(1)∵f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
即e－x＋aex＋ex＋ae－x＝0，
∴(a＋1)(ex＋e－x)＝0，∴a＝－1.
(2)因为函数为奇函数，所以x·[f(x)－f(－x)]<0等价于2x·f(x)<0，由题设知f(x)在R上是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，所以f(3)＝0，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，即f(x)在(－∞，－3)上小于零，在(－3，0)上大于零，在(0,3)上小于零，在(3，＋∞)上大于零．又x·[f(x)－f(－x)]<0，所以x与f(x)的符号相反，由x>0可得x∈(0,3)；由x<0可得x∈(－3,0)，所以x·[f(x)－f(－x)]<0的解集是{x|－3 (3)因为函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)－f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f()＝f(2 020－)＝f(－)＝－f()．因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f()＝()2＝，故f(2 019 )＝－，故选D．
(4)易知函数f(x)的最小正周期T＝6，f(x)的图象关于直线x＝3对称，∴f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5)．又f(x)在(0,3)内单调递减，∴f(3,5) 考点二　函数的周期性——自主练透
例6 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 022)＝2－.
(2)已知定义在R上周期为3的奇函数f(x)，则f(1.5)＝0.
(3)设f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，当－4≤x≤－3时，f(x)＝－2(x＋4)(x＋3)，当2 019 [解析]　(1)f(x)＝－＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的周期T＝4，
f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2－.
(2)f(1.5)＝－f(－1.5)＝－f(－1.5＋3)＝－f(1.5)，
∴f(1.5)＝0.
(3)设－4≤x≤－2，
f(x)＝f(x＋4)＝2(x＋4)[1－(x＋4)]＝－2(x＋4)(x＋3)，
设2019 f(x)＝f(x－2 020)＝f(2 020－x)＝2×(2 020－x)(x－2 019)．

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利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．


MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
函数三大性质的综合应用
例7 已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，给出下列命题：
①直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
②函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；
③函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为①③.
[解析]　①对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，故①正确．②当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f(x)在[0,3]上为增函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点，故③正确．

名师点拨 ☞
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
〔变式训练2〕
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋)＋f(x)＝0，且函数y＝f(x－)为奇函数，给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是；②函数y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；③函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．其中真命题的个数是(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　由f(x＋)＋f(x)＝0知f(x)为周期函数，且周期为3，故①不正确；
由函数y＝f(x－)为奇函数，知f(x)关于(－，0)对称，故②正确；
由f(x)关于(－，0)对称，可知f(x)＋f(－－x)＝0，又f(x＋)＋f(x)＝0，∴f(－－x)＝f(x＋)，
∴f(－x)＝f(x)，[或∵f(x－)是奇函数，∴f(x－)＝－f(－x－)，又f(x＋)＋f(x)＝0，即f(x＋)＝－f(x)]
∴f(x－)＝f[(－x－)＋]＝f(－x＋)＝f[－(x－)]即f(x)＝f(－x)．
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故③正确．