2021高考数学一轮复习学案：第一章1.2充分条件与必要条件

§1.2　充分条件与必要条件

充分条件、必要条件与充要条件的概念

概念方法微思考

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)

(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)

(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(　√　)

(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．(　×　)

题组二　教材改编

2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

答案　充分不必要

3．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)

答案　必要不充分

4．函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

答案　m＝－2

题组三　易错自纠

5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

答案　C

解析　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

6．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)

A．x<1  B．x>1  C．x>－1  D．x>3

答案　BC

7．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，m∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案　(2，＋∞)

解析　因为A＝＝{x|－1<x<3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

所以AB，所以m＋1>3，即m>2.

充分、必要条件的判定

1．设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．(选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分又不必要”)

答案　充分不必要

解析　由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．

2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　　)

A．充要条件   B．既不充分又不必要条件

C．充分不必要条件   D．必要不充分条件

答案　D

解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

3．设p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　由x<1知x>0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件．

4．若集合A＝{x|x2－6x＋5<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}．

∵B⊆A，∴即2≤a≤4，

∵(2,3)[2,4]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．

思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

充分、必要条件的应用

例1　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0,3]．

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练1　(1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________．

答案　1

解析　q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.

由p是q的充要条件知∴a＝1.

(2)设p：|2x＋1|<m(m>0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．

答案　(0,2]

解析　由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m，

∴－<x<，且－<0，

由>0，得x<或x>1.

∵p是q的充分不必要条件，

∴≤，∴0<m≤2.

充要条件的探求

例2　已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．

解　因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，

所以m≠0.

又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，

所以

解得m∈.

因为两方程的根都是整数，

故其根的和与积也为整数，

所以

所以m为4的约数．

又因为m∈，

所以m＝－1或1.

当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；

而当m＝1时，两方程的根均为整数，

所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.

思维升华　探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．

跟踪训练2　(1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．a≥4   B．a>4

C．a≥1   D．a>1

答案　B

解析　要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．

(2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．

答案　ac<0

解析　ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是

即ac<0.