2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第五讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用


第五讲　函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及应用
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　用五点法画y＝Asin (ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表如示.
x
__－__
__－＋__
____
__－__
____
ωx＋φ
__0__
____
__π__
____
__2π__
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
知识点二　函数y＝Asin x的图象经变换得到y＝Asin (ωx＋φ)的图象的步骤如下

知识点三　简谐振动y＝Asin (ωx＋φ)中的有关物理量
y＝Asin (ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝
＝
__ωx＋φ__
φ

1．函数y＝Asin (ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为.
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin (ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos (ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．
3．正弦曲线y＝sin x向左平移个单位即得余弦曲线y＝cos x.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题不正确的是(　BD　)
A．y＝sin (x－)的图象是由y＝sin (x＋)的图象向右平移个单位长度得到的
B．将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin (ωx－φ)的图象
C．函数y＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为
D．函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x
题组二　走进教材
2．(必修4P55T2改编)(1)把y＝sin x的图象向右平移个单位，得__y＝sin (x－)__的图象．
(2)把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得__y＝sin x__的图象．
(3)把y＝sin (x－)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得__y＝sin (2x－)__的图象．
(4)把y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得__y＝sin (2x－)__的图象．
3．(必修4P70T16改编)函数y＝sin (2x－)的区间[－，π]上的简图是(　A　)

[解析]　当x＝0时，y＝sin (－)＝－，排除B，D，当x＝时，y＝0，排除C．故选A．
4．(必修4P70T18改编)函数y＝2sin (2x－)的振幅、频率和初相分别为(　C　)
A．2，，　　 B．2，，
C．2，，－　　 D．2，，－
[解析]　由题意得A＝2，T＝＝π，∴f＝＝，φ＝－.故选C．
题组三　考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　A　)
A．2　　 B．　　
C．1　　 D．
[解析]　依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A．
6．(2019·天津)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g()＝，则f()＝(　C　)
A．－2　　 B．－　　
C．　　 D．2
[解析]　因为f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，g(x)＝Asin x．又g()＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f()＝2sin ＝，故选C．
7．(2016·课标全国Ⅱ)函数y＝Asin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　A　)

A．y＝2sin (2x－)　　 B．y＝2sin (2x－)
C．y＝2sin (x＋)　　 D．y＝2sin (x＋)
[解析]　由图易知A＝2，因为周期T满足＝－(－)，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin (2x－)．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　“五点法”作y＝Asin (ωx＋φ)的图象——师生共研
例1　(2020·湖北黄冈元月调考)已知函数f(x)＝－cos (2x＋)＋1－2sin2x.
用“五点作图法”在坐标系中画出函数f(x)在[0，π]上的图象．

[解析]　f(x)＝－cos (2x＋)＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)．
列表如下：
x
0




π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

名师点拨　☞
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
(1)将原函数化为y＝Asin (ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
(2)确定周期．
(3)确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点．
(4)列表．
(5)描点．
(6)连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象．注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以－为首项，公差为的等差数列．
〔变式训练1〕
设函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f()＝.

(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解析]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
又因为f()＝cos (2×＋φ)＝cos (＋φ)＝－sin φ＝且－<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos (2x－)．
列表
2x－
－
0

π


x
0




π
f(x)

1
0
－1
0

描点，连接．

考点二　三角函数图象的变换——多维探究
角度1　给定图象变换，确定函数解析式
例2　(2020·四川德阳三校联考)先将函数f(x)＝sin 2x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　C　)
A．g(x)＝sin (x－)　　 B．g(x)＝sin (x＋)
C．g(x)＝sin (4x－)　　 D．g(x)＝sin (4x－)
[解析]　先将函数f(x)＝sin 2x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin 4x的图象，再将所得图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin [4(x－)]＝sin (4x－)的图象．
[易错警示]　混淆先平移变换还是先伸缩变换的差异致错
将函数f(x)＝sin 2x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，误认为得到y＝sin x的图象，就会误选A或B；将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度后误认为得到g(x)＝sin (4x－)的图象而错选D．由函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)(ω>0)的图象，两种变换的区别：先平移变换(相位变换)再伸缩变换(周期变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换(周期变换)再平移变换(相位变换)，平移的量是个单位长度．原因在于平移变换和伸缩变换都是针对自变量而言．
角度2　给定变换前后函数解析式、确定图象间变换
例3　(多选题)(2020·福建漳州八校联考改编)若函数f(x)＝cos (2x－)，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，则只需将f(x)的图象(　AC　)
A．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍
C．先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍
D．先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
[解析]　函数f(x)＝cos (2x－)＝sin (＋2x－)＝sin (2x＋)，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，则只需将f(x)的图象，先横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)，再向右平移个单位长度即可．或者，先将f(x)的图象向右平移得到y＝sin 2x的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到y＝g(x)图象，故选A、C．
角度3　图象变换与性质的综合问题
例4　已知函数f(x)＝2sin (2x＋)，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度；再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，]上的值域为(　A　)
A．[－1,2]　　 B．[0,1]
C．[0,2]　　 D．[－1,0]
[解析]　把函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2sin ＝2sin (2x＋)的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x＋)的图象，
在上，4x＋∈，
故当4x＋＝时，g(x)取得最小值－1；
当4x＋＝时，g(x)取得最大值2.
故函数g(x)的值域为[－1,2]．
故选A．
名师点拨　☞
图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(伸缩即用代换原式中的x；平移即用x±|φ|代换原式中的x，规则是“左加、右减”)注意两种途径平移单位的不同，前者是|φ|个单位，后者是||个单位．
温馨提醒：(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数．
(2)不同名函数一般先利用诱导公式cos x＝sin (x＋)转化为正弦型函数．
(3)伸缩变换比较周期即可，平移变换的确定：①由C1：y＝sin (ωx＋φ1)，变换为C2：y＝sin (ωx＋φ2)，分别求出“五点法”中的第一个零点x1＝－、x2＝－.比较－、－即可；②由C1：y＝cos (ωx＋φ1)变换为C2：y＝sin (ωx＋φ2)，分别求出“五点法”中第一个“峰点”横坐标x1＝－、x2＝.比较－、即可．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)把函数y＝2sin (2x＋)的图象向右平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的解析式是(　C　)
A．y＝2sin (4x＋)　　 B．y＝2sin (3x＋)
C．y＝2sin 4x　　 D．y＝2sin x
(2)(角度2)(2017·全国)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin (2x＋)，则下面结论正确的是(　D　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(3)(角度3)(2018·天津，6)将函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　A　)
A．在区间[－，]上单调递增
B．在区间[－，0]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，π]上单调递减
[解析]　(1)y＝2sin (2x＋)y＝2sin 2xy＝2sin 4x，故选C．
(2)解法一：C2：y＝sin [(2x＋)＋]＝cos (2x＋)＝cos 2(x＋)．
∴C1：y＝cos xy＝cos 2xC2：y＝cos 2(x＋)，故选D．
解法二：C1：y＝cos x＝sin (x＋)
y＝sin (2x＋)
y＝sin [2(x＋)＋]
即C2：y＝sin (2x＋)，故选D．
解法三：(对点法)y＝cos x的周期T1＝2π，y＝sin (2x＋)的周期T2＝π，故由C1变换到C2横坐标缩短到原来的倍．y＝cos 2x的第一个峰点是(0,1)，y＝sin (2x＋)的峰点是(－，1)，对比两峰点可知需再把曲线左移个单位，故选D．
(3)本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质．将y＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin [2(x－)＋]＝sin 2x，当2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，y＝sin 2x单调递增，令k＝0，在x∈[－，]，所以y＝sin 2x在[－，]上单调递增，故选A．
考点三　已知函数图象求解析式——师生共研
例5　(1)已知函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图①所示，则φ＝__－__.

(2)已知函数f(x)＝Msin (ωx＋φ)(M>0，|φ|<)的部分图象如图②所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B(－，0)，则函数f(x)＝__3sin(x－)__.
[解析]　(1)由题设图象知，A＝2，可得f(x)＝2sin (ωx＋φ)．由函数图象过点(0，－1)，可得2sin φ＝－1，即sin φ＝－，则φ＝2kπ－(k∈Z)或φ＝2kπ－(k∈Z)．因为< 由函数图象过点(，0)，得sin (ω＋φ)＝0，则ω＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)　②.
由①②得φ∈(2kπ－π，2kπ－)(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由题意得M＝3，T＝2＋，所以T＝6＝，所以ω＝，所以f(x)＝3sin (x＋φ)，将A(2,3)代入可得3＝3sin (＋φ)，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝3sin (x－)．
名师点拨　☞
确定y＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
〔变式训练3〕
(2020·河北涞水波峰中学期中)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈[，π])的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　A　)

A．g(x)＝2cos x　　 B．g(x)＝2sin (x＋)
C．g(x)＝2sin (x＋)　　 D．g(x)＝－2cos x
[解析]　设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，φ∈[，π]得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin (x＋)．则g(x)＝2sin [(x－1)＋]＝2cos x.故选A．
考点四　三角函数图象与性质的综合应用——师生共研
例6　(2020·厦门模拟)已知向量a＝(2cos x，sin x)，b＝(cos x,2cos x)，函数f(x)＝a·b＋m，m∈R，且当x∈[0，]时，f(x)的最小值为2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)－4在区间[0，]上的所有零点之和．
[解析]　f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋m
＝cos 2x＋sin 2x＋m＋1
＝2sin (2x＋)＋m＋1.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝2×(－)＋m＋1＝2，解得m＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)＋3，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到f(x)＝2sin (4x＋)＋3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin [4(x－)＋]＋3＝2sin (4x－)＋3，又g(x)＝4，得sin (4x－)＝，解得4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋，k∈Z.
即x＝＋或x＝＋(k∈Z)，因为x∈[0，]，所以x＝或，故所有零点之和为＋＝.
名师点拨　☞
三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin (ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin (ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
〔变式训练4〕
若函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)满足f(0)＝f()，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为__π__.
[解析]　因为f(0)＝f()，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f()＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z)．又f(x)在[0，]上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
三角函数中有关参数ω的求解问题
一、三角函数的周期T与ω的关系
例7　为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　B　)
A．98π　　 B．π　　
C．π　　 D．100π
[解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以(49)T＝·≤1，所以ω≥π，故选B．
名师点拨　☞
这类三角函数试题直接运用T与ω的关系T＝，再结合条件，一般可以轻松处理．
二、三角函数的单调性与ω的关系
例8　若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[，]上单调递减，则ω的取值范围是(　D　)
A．[0，]　　 B．[0，]
C．[，3]　　 D．[，3]
[解析]　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在[，]上单调递减，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.从而≤ω≤3，故选D．
名师点拨　☞
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[，]上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
三、三角函数最值与ω的关系
例9　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，求ω的取值范围．
[解析]　显然ω≠0.
若ω>0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪[，＋∞)．
〔变式训练5〕
(1)若函数f(x)＝2cos (ωx＋)的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值为__6__.
(2)若函数y＝2cos ωx在区间[0，]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　B　)
A．2　　 B．　　
C．3　　 D．
[解析]　(1)因为1 (2)由y＝2cos ωx在[0，]上是递减的，且有最小值1，则有2×cos (ω×π)＝1⇒cos ω＝.检验各数据，得出B项符合．故选B．