2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第8讲　函数与方程


第8讲　函数与方程
[考纲解读]　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点)
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测2021年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.

1.函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系

(3)存在性定理

2．用二分法求函数f(x)零点近似值
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)
的图象



与x轴的
交点
2
1
无
零点个数
2
1
0

1．概念辨析
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)
(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　)
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．小题热身
(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
F(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案　B
解析　由已知得f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)．
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

答案　A
解析　能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.
(3)函数f(x)＝x－x零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　B

解析　函数f(x)＝x－x零点的个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)＝x－x零点的个数为1.
(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．
答案　(0,4)
解析　因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实根，所以Δ＝k2－4k<0，解得0
题型 一　求函数的零点或判断其所在的区间

1．(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝
则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B．－2,0
C. D．0
答案　D
解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.
2．若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
3．(2019·青岛二中模拟)已知函数f(x)＝2x－logx，且实数a>b>c>0满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是(　　)
A．x0a
C．x0 答案　D
解析　由f(x)＝2x－logx，可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a>b>c>0满足f(a)f(b)·f(c)<0，所以f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0，如图，则A，B，C可能成立，D不可能成立．故选D.


函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
解方
程法
可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上
当对应方程f(x)＝0易解时．如举例说明1
续表
方法
解读
适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负．如举例说明2
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象．如举例说明3

1．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为f＝e＋4×－3＝e－4<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f＝e－＋4×－3＝e－－1<0，f＝e－＋4×－3＝e－>0.
所以f·f<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可能为.
2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B

解析　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右：
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
3．函数f(x)＝的零点是________．
答案　－1,0，
解析　当x>0时，由1＋lg x＝0，解得x＝；当x≤0时，由x2＋x＝0，解得x＝0或－1.所以函数f(x)的零点是－1,0，.
题型 二　函数零点个数的判定

1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　由已知得y＝f(x)＋3x＝令x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.令1＋＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
2．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为________．
答案　5
解析　令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，作出f(x)的简图：

由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.

判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．如举例说明1.
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2020·河南南阳月考)函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内(　　)
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
答案　B
解析　先研究f(x)在区间[0,1]内的零点．因为f′(x)＝＋sinx，>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝－cosx>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上的根的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C

解析　因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝x在上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝x在上有3个根．
题型 三　函数零点的应用　

角度1　根据函数的零点(或方程的根)的个数
求参数
1．(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是(　　)
A．a>－1 B．－1 C．0 答案　C
解析　画出函数f(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则函数f(x)与直线y＝－a有两个不同交点，由图可知－1≤－a<0，所以0
角度2　根据函数零点所在的区间求参数
2．(2019·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案　D
解析　由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.∴实数a的取值范围是.

根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．如举例说明1.
(3)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
方程a＝4x－2x，
可变形为a＝2－，
∵x∈[－1,1]，∴2x∈，
∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.
2．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.


　组　基础关
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
答案　C
解析　因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以2a＋b＝0，b＝－2a，所以g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，由g(x)＝0得x＝0或－，故g(x)的零点是0，－.
2．(2020·佳木斯摸底)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
1
2
3
4
5
6
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案　B
解析　由表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
3．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设f(x)＝x3－2x－1，一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在的区间是，故选D.
4．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案　C
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0 5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C

解析　作出函数y＝|x－2|与g(x)＝ln x的图象，如图所示．
由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点．故选C.
6．(2019·江西三校联考)设函数y＝log2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　C
解析　设f(x)＝(log2x－1)－22－x，则f(2)＝1－1－20＝－1<0，f(3)＝(log23－1)－＝log23－log22>0.所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点．所以x0∈(2,3)．
7．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案　C
解析　当a＝0时，函数f(x)的零点是－1，－1∉{x|0 即解得a>1；当Δ＝0，即a＝－时，函数f(x)的零点是－2，－2∉{x|0 8．已知f(x)＝则其零点为________．
答案　1，－1
解析　当x>0时，由f(x)＝0，即xln x＝0得ln x＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.综上，函数的零点为1，－1.
9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　当x∈(－∞，1]时，2x∈(0,2]．由函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，可得0 10．(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)

解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．
　组　能力关
1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
答案　B
解析　由题意可知x＝0或cos(x2－2x－3)＝0，又x∈[－1,4]，所以x2－2x－3＝(x－1)2－4∈[－4,5]，当cos(x2－2x－3)＝0时，x2－2x－3＝kπ＋，k∈Z，在相应的范围内，k只有－1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.
2．(2019·石家庄模拟)设方程10x＝|lg (－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0 答案　D

解析　作出y＝10x与y＝
|lg (－x)|的大致图象，如图．
显然x1<0，x2<0.
不妨设x1 所以10x1＝lg (－x1)，10x2＝－lg (－x2)，
此时10x1<10x2，
即lg (－x1)<－lg (－x2)，
由此得lg (x1x2)<0，所以0 3．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________(由小到大)．
答案　x1 解析　令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1，y＝－x，
∵函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1与函数y＝－x交点的横坐标分别为x1，x2，x3.

分别作出函数的图象，结合图象可得x1 4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的值；
(2)求函数的零点．
解　(1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，所以m＝±2，
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不符合题意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
所以这种情况不符合题意．
综上可知，当m＝－2时，f(x)有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为0.
5．(2019·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．

解　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，
所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，
则如图满足
解得