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新高考数学一轮复习教师用书：第二章 8 第8讲 函数与方程学案
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这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第二章 8 第8讲 函数与方程学案，共13页。
第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)
的图象
与x轴
的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
[教材衍化]
1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C.和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．
解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
[易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理；
(2)误解函数零点的定义；
(3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件．
1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，
即x＝0和x＝3.
答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8
4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由题意得Δ＝k2－4k<0，解得0
函数零点所在区间的判断
设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
【解析】 h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，
即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A.
【答案】 A
判断函数零点所在区间的3种方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
1．(2020·金华十校联考)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为f＝＋log2<0，
f＝＋log2>0，所以f·f<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选A.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，
f(b)＝(b－c)(b－a)，
f(c)＝(c－a)(c－b)，
因为a0，f(b)<0，f(c)>0，
所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
函数零点个数的问题
(1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)法一：由f(x)＝0得
或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)因为f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝f，当x∈[3，9)时，f(x)＝f＝ln，所以f(x)＝而g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点⇔y＝f(x)与y＝ax的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得
【答案】 (1)B (2)B
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
2．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以通过y＝2x的图象进行变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x)＝f(x－2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个数即f(x)＝的根的个数，也即f(x)的图象与y＝的图象的交点个数，观察图象可知，当x>0时，有5个交点，根据对称性可得当x<0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D.
函数零点的应用(高频考点)
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)利用函数零点比较大小；
(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；
(3)利用函数零点的性质求参数的范围．
角度一 利用函数零点比较大小
(2020·台州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)
由题意，知g′(x)＝＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．
综上，可得0
角度二 已知函数的零点(或方程的根)的情况
求参数的值或范围
(1)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．
(2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】 (1)令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0.
所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2 ＝log2.
因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5.
所以≤≤，≤1－≤.
所以log2 ≤log2≤log2 ，
即log2 ≤m≤log2 .
所以m的取值范围是.
(2)若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得14.
【答案】 (1) (2)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
角度三 利用函数零点的性质求参数的范围
已知函数f(x)＝|ln x|，若0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【解析】 先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，如果f(a)＝f(b)，则00)，由00，从而即所以a＋2b＝＋2et，而et>1，又y＝2x＋在(1，＋∞)上为增函数，所以2et＋∈(3，＋∞)．故选C.
【答案】 C
已知函数的零点(或方程根)的情况求
参数问题常用的三种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
1．(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
解析：选C.由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
3．(2020·杭州学军中学高三质检)若函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．
解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2
答案：(－2，2)
[基础题组练]
1．(2020·浙江省名校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．(2020·温州十校联考(一))设函数f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B.法一：因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
3．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
4．已知函数f(x)＝－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0
C．小于0 D．不大于0
解析：选B.y1＝是减函数，y2＝－tan x在上也是减函数，
可知f(x)＝－tan x在上单调递减．
因为0f(x0)＝0.故选B.
5．(2020·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故选C.
6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A．k<0 B．k<1
C．01
解析：选D.分别画出y＝与y＝kx2的图象如图所示，
当k<0时，y＝kx2的开口向下，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意；
当k＝0时，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意，
当k>0，x≥0时，
令f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2－x＝0，
即x(kx2＋2kx－1)＝0，
即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，
因为Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯一解．即当x≥0时，方程有两个解．
当k>0，x<0时，f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，
此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1，
综上所述k>1.
7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数f(x)＝，则f(f(e))＝________，函数y＝f(x)－1的零点为________．
解析：因为f(x)＝，
所以f(e)＝ln e＝1，
f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0，
若0
若x>1，f(x)＝1⇒ln x＝1⇒x＝e.
答案：0 e
8．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
9．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为________．
解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以或解得x＝－1或x＝或x＝，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为.
答案：
10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点即函数y＝|x3－4x|与y＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y＝|x3－4x|的图象如图，当直线y＝2－ax与曲线y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x0，－x＋4x0)，则切线方程为y－(－x＋4x0)＝(－3x＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得x0＝1，此时a＝－1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<－1或a>1.
答案：a<－1或a>1
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( )
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
解析：选C.令f[f(kx)＋1]＋1＝0得，
或，
解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝；
由f(kx)＋1＝0得，
或；
即x＝0或kx＝；
由f(kx)＋1＝得，
或；
即ekx＝1＋(无解)或kx＝e－1；
综上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1；
故无论k为何值，均有3个解，故选C.
2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a>0)，则“f<0”是“f(x)与f(f(x))都恰有两个零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由已知a>0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x＝－，即f<0，令f(x)＝－，则f(f(x))＝f，因为f<0，所以f(f(x))<0，所以f(f(x))必有两个零点．同理f<0⇒f<0⇒x＝－，因为x＝－是对称轴，a>0，开口向上，f<0，必有两个零点所以C选项正确．
3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式为2－x2>|x－a|，则0<2－x2.
在同一坐标系画出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切时，
由，可得x2－x＋a－2＝0，
再由Δ＝0解得a＝.
数形结合可得，实数a的取值范围是.
答案：
4．已知函数f(x)＝，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
解析：由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.
答案：5
第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)
的图象
与x轴
的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
[教材衍化]
1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C.和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．
解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
[易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理；
(2)误解函数零点的定义；
(3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件．
1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，
即x＝0和x＝3.
答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8
4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由题意得Δ＝k2－4k<0，解得0
函数零点所在区间的判断
设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，e) D．(e，3)
【解析】 h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，
即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A.
【答案】 A
判断函数零点所在区间的3种方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
1．(2020·金华十校联考)函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为f＝＋log2<0，
f＝＋log2>0，所以f·f<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选A.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，
f(b)＝(b－c)(b－a)，
f(c)＝(c－a)(c－b)，
因为a
所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
函数零点个数的问题
(1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，且当x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)法一：由f(x)＝0得
或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)因为f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝f，当x∈[3，9)时，f(x)＝f＝ln，所以f(x)＝而g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点⇔y＝f(x)与y＝ax的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线y＝ax应在图中两条虚线之间，所以可解得
【答案】 (1)B (2)B
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
2．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝4f(x)－1的零点个数为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选D.由f(x)为偶函数可得，只需作出x∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x∈(0，2]时，可以通过y＝2x的图象进行变换作出f(x)的图象，当x>2时，f(x)＝f(x－2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个数即f(x)＝的根的个数，也即f(x)的图象与y＝的图象的交点个数，观察图象可知，当x>0时，有5个交点，根据对称性可得当x<0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D.
函数零点的应用(高频考点)
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)利用函数零点比较大小；
(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；
(3)利用函数零点的性质求参数的范围．
角度一 利用函数零点比较大小
(2020·台州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)
由题意，知g′(x)＝＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．
综上，可得0
角度二 已知函数的零点(或方程的根)的情况
求参数的值或范围
(1)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．
(2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】 (1)令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0.
所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2 ＝log2.
因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5.
所以≤≤，≤1－≤.
所以log2 ≤log2≤log2 ，
即log2 ≤m≤log2 .
所以m的取值范围是.
(2)若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1
【答案】 (1) (2)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
角度三 利用函数零点的性质求参数的范围
已知函数f(x)＝|ln x|，若0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【解析】 先作出f(x)的图象如图所示，通过图象可知，如果f(a)＝f(b)，则0
【答案】 C
已知函数的零点(或方程根)的情况求
参数问题常用的三种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
1．(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
解析：选C.由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
3．(2020·杭州学军中学高三质检)若函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，且a∈R)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为________．
解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2
答案：(－2，2)
[基础题组练]
1．(2020·浙江省名校联考)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．(2020·温州十校联考(一))设函数f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B.法一：因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
3．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
4．已知函数f(x)＝－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0
C．小于0 D．不大于0
解析：选B.y1＝是减函数，y2＝－tan x在上也是减函数，
可知f(x)＝－tan x在上单调递减．
因为0
5．(2020·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故选C.
6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A．k<0 B．k<1
C．0
解析：选D.分别画出y＝与y＝kx2的图象如图所示，
当k<0时，y＝kx2的开口向下，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意；
当k＝0时，此时与y＝只有一个交点，显然不符合题意，
当k>0，x≥0时，
令f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2－x＝0，
即x(kx2＋2kx－1)＝0，
即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，
因为Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯一解．即当x≥0时，方程有两个解．
当k>0，x<0时，f(x)＝－kx2＝0，
即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，
此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1，
综上所述k>1.
7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数f(x)＝，则f(f(e))＝________，函数y＝f(x)－1的零点为________．
解析：因为f(x)＝，
所以f(e)＝ln e＝1，
f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0，
若0
若x>1，f(x)＝1⇒ln x＝1⇒x＝e.
答案：0 e
8．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
9．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为________．
解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以或解得x＝－1或x＝或x＝，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为.
答案：
10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点即函数y＝|x3－4x|与y＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y＝|x3－4x|的图象如图，当直线y＝2－ax与曲线y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x0，－x＋4x0)，则切线方程为y－(－x＋4x0)＝(－3x＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得x0＝1，此时a＝－1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<－1或a>1.
答案：a<－1或a>1
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f(x)＝，则下列关于函数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( )
A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点
B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点
C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
解析：选C.令f[f(kx)＋1]＋1＝0得，
或，
解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝；
由f(kx)＋1＝0得，
或；
即x＝0或kx＝；
由f(kx)＋1＝得，
或；
即ekx＝1＋(无解)或kx＝e－1；
综上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1；
故无论k为何值，均有3个解，故选C.
2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a>0)，则“f<0”是“f(x)与f(f(x))都恰有两个零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由已知a>0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x＝－，即f<0，令f(x)＝－，则f(f(x))＝f，因为f<0，所以f(f(x))<0，所以f(f(x))必有两个零点．同理f<0⇒f<0⇒x＝－，因为x＝－是对称轴，a>0，开口向上，f<0，必有两个零点所以C选项正确．
3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式为2－x2>|x－a|，则0<2－x2.
在同一坐标系画出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切时，
由，可得x2－x＋a－2＝0，
再由Δ＝0解得a＝.
数形结合可得，实数a的取值范围是.
答案：
4．已知函数f(x)＝，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．
解析：由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－，所以x1＋x2＝5.
答案：5
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