2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第6章第3讲　基本不等式


第3讲　基本不等式
[考纲解读]　1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)
2．掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.

1.基本不等式
不等式
成立的条件
等号成立的条件
两个不等式的关系
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
在不等式a2＋b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，分别以，代替a，b可得a＋b≥2，即≤
≤
a＞0，b＞0
a＝b

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)2≤(a，b∈R)，
2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．
(5)≥≥ab(a，b∈R)．
(6)≥≥≥(a>0，b>0)．

1．概念辨析
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
(2)函数f(x)＝＋的最小值为2.(　　)
(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)若x＜0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
答案　D
解析　因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
(2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77
C．81 D．82
答案　C
解析　由基本不等式18＝x＋y≥2⇔9≥⇔xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.
(3)已知lg a＋lg b＝2，则lg (a＋b)的最小值为(　　)
A．1＋lg 2 B．2
C．1－lg 2 D．2
答案　A
解析　由lg a＋lg b＝2，可知a>0，b>0，lg (ab)＝2，即ab＝100.所以a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号，所以lg (a＋b)≥lg 20＝1＋lg 2.故lg (a＋b)的最小值为1＋lg 2.
(4)周长为12的矩形，其面积的最大值为________．
答案　9
解析　设此矩形的长和宽分别为x，y，则2(x＋y)＝12，x＋y＝6.所以xy≤2＝9.当且仅当x＝y＝3时，xy取得最大值9.即此矩形面积的最大值为9.

题型 一　利用基本不等式求最值　

角度1　直接应用
1．(2019·开封模拟)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案　B
解析　由题得2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，所以1≥2，所以≥2x＋y，所以2－2≥2x＋y，所以x＋y≤－2.所以x＋y的最大值为－2.
角度2　拼凑法求最值
2．(1)求f(x)＝4x－2＋的最大值；
(2)已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值．
解　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(2)因为x＞0，所以x＝≤，
当且仅当x2＝＋，即x＝，y2＝时，等号成立．
又x2＋＝＋＝，
所以x≤＝，
即(x)max＝.
角度3　构造不等式求最值(多维探究)
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为(　　)
A．3 B．4
C. D.
答案　B
解析　因为x>0，y>0，且x＋2y＋2xy＝8，所以x＋2y＝8－2xy≥8－2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立．整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8.又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.故x＋2y的最小值为4.
条件探究　将本例中的条件“x＋2y＋2xy＝8”改为“4xy－x－2y＝4”，其他条件不变，则xy的最小值为________．
答案　2
解析　因为x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，所以4xy－4＝x＋2y≥2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立．整理可得2xy－－2≥0.解得≥2，即xy≥2，所以xy的最小值为2.
角度4　常数代换法求最值(多维探究)
4．(2019·北京师大附中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D．不存在
答案　C
解析　设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
由a7＝a6＋2a5得a6q＝a6＋，
化简得，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
因为aman＝16a，所以(a1qm－1)(a1qn－1)＝16a，
则qm＋n－2＝16，解得m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)＝≥＝.
当且仅当＝时取等号，此时
解得
因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，
则＋＞，
验证可得，当m＝2，n＝4时，＋取得最小值为.
条件探究　将本例中数列{an}满足的条件改为“数列{an}是等差数列，an＞0，且a5＝2”，则＋的最小值为________．
答案　4
解析　由已知得，a2＋a8＝2a5＝4，且a2＞0，a8＞0.所以＋＝(a2＋a8)＝≥＝4，当且仅当＝，即a8＝3a2时等号成立．所以＋的最小值为4.

1．拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．如举例说明2(2)；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．如举例说明2(1)；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
2．通过消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
3．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．如举例说明4；
(4)利用基本不等式求解最值．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　对于x2＋3xy－1＝0可得y＝，∴x＋y＝＋≥2＝.故选B.
2．(2020·岳阳一中月考)已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为(　　)
A．6 B．4
C．2 D．3
答案　A
解析　因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，
所以2a＋＋＝a＋b＋＋a－b＋≥2＋2＝4＋2＝6.
当且仅当a＋b＝且a－b＝，
即a＝，b＝时等号成立．
所以2a＋＋的最小值为6.
题型 二　基本不等式的综合应用　

角度1　基本不等式中的恒成立问题
1．(2019·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
答案　A
解析　因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，
＝≤＝，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.故选A.
角度2　基本不等式与其他知识的综合问题

2．(2019·昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°.设∠BAE＝θ，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tanθ＝________.
答案　－1
解析　在直角三角形ABE中，可得BE＝4tanθ(0
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．
(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1.
(3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常与三角函数、解三角形、解析几何等知识结合．如举例说明2.

1．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
答案　B
解析　由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.
∵3x＋≥2，当且仅当3x＝时，等号成立．∴k＋1<2，即k<2－1.
2．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)
A. B.
C．2＋ D．2－
答案　A
解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，∴＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．∴的最小值是.故选A.
题型 三　基本不等式在实际问题中的应用
(2019·湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m，宽为1 m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________ m3.

答案　
解析　设长方体底面边长为x m，宽为y m，高为z m，如图所示，则解得x＝1－y，z＝1－y.所以该长方体的体积为xyz＝y(1－y)(1－y)＝×2y(1－y)(1－y)≤·3＝，当且仅当2y＝1－y，即y＝时，等号成立．故此长方体体积的最大值为 m3.


利用基本不等式求解实际问题的策略
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


(2019·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
答案　2　20
解析　设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，
∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．

　组　基础关
1．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2成立的条件是ab＞0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的必要不充分条件．
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.
3．已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)
A．p≥q B．p＞q
C．p＜q D．p≤q
答案　A
解析　由a＞2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A.
4．(2019·郑州外国语学校月考)若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　)
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
答案　C
解析　因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0，且lg a≠lg b，所以＜(lg a＋lg b)，由＜，得lg＜lg .所以(lg a＋lg b)＜lg ，综上知P＜Q＜R.
5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　C
解析　由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

6．《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C.≤(a＞0，b＞0)
D.≤ (a＞0，b＞0)
答案　D
解析　由图可知OF＝AB＝，OC＝.
在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝＝.∵CF≥OF，
∴≥(a＞0，b＞0)．故选D.
7．(2019·中山模拟)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　B
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)·＝1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，∴a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.
8．(2020·陕西榆林摸底)已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则当x＝________时，＋取得最小值，最小值为________．
答案　　2
解析　由基本不等式可得x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立．∵正数x，y满足x2＋y2＝1，∴xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．∴＋≥2≥2，当且仅当x＝y＝时等号成立，∴＋的最小值为2.
9．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________．
答案　6
解析　因为x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，
所以x(y＋1)＝y＋10，x＝＝1＋，
所以x＋y＝1＋＋y＝y＋1＋
≥2＝6，
当且仅当y＋1＝，即y＝2时等号成立．
所以x＋y的最小值是6.
10．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案　30
解析　一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2 ＝240，
当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
　组　能力关
1．(2019·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B.
C．8 D．9
答案　D
解析　∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有A∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)
A．10 B．9
C．8 D．3
答案　B
解析　由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以＝＋＝·(2a＋b)＝≥＝×(10＋8)＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以的最小值为9，故选B.
3．(2019·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××[(2a)2＋()2]＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当
时等号成立，此时a＝，故选D.
4．(2019·江淮十校模拟)已知函数f(x)＝|ln (x－1)|，若f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为(　　)
A．(4，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[6，＋∞) D．(4,3＋2]
答案　B
解析　∵函数f(x)＝|ln (x－1)|，f(a)＝f(b)，且x>1，不妨设a 5．(2019·天津一中高考模拟)已知关于x的不等式x2－5ax＋2a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是________．
答案　
解析　由于a>0，故一元二次方程x2－5ax＋2a2＝0的判别式Δ＝25a2－4·2a2＝17a2>0，
由根与系数的关系，得则
x1＋x2＋＝5a＋＝5a＋
≥2＝，
当且仅当5a＝，a＝时等号成立．
综上可得x1＋x2＋的最小值是.
6．当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为________．
答案　[－2,4]
解析　因为0