2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第11章第5讲　数学归纳法


第5讲　数学归纳法
[考纲解读]　1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)
2．数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.

数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．

1．概念辨析
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)
A．x>sinx，x∈(0，π)
B．ex≥x＋1(x∈R)
C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)
D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)
答案　C
解析　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．
(2)(2019·德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)
A．1 B.1＋2
C．1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23
答案　D
解析　n＝1时，左边计算所得的式子为1＋2＋22＋23.
(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案　2k＋1
解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.


题型 一　用数学归纳法证明恒等式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2019·杭州模拟)已知函数f(n)＝－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)(n∈N*)．
(1)求f(n＋1)－f(n)；
(2)用数学归纳法证明：f(n)＝(－1)n·n.
解　(1)∵f(n)＝－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)(n∈N*)．
∴f(n＋1)－f(n)＝(－1)n＋1(2n＋1)．
(2)证明：①n＝1时，f(1)＝－1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝(－1)k·k.
则n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(2k＋1－k)＝(－1)k＋1(k＋1)．
∴n＝k＋1时也成立．
综上可得，对于任意n∈N*，f(n)＝(－1)n·n.

应用数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.

求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立，
故由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．
题型 二　用数学归纳法证明不等式
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．
证明　①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．
即·…·>.
则当n＝k＋1时，·…··>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式成立．



应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.

用数学归纳法证明＋＋…＋≥(n∈N*)．
证明　①当n＝1时，左边＝＋＝，
所以当n＝1时，命题成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
则有＋＋…＋≥，
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋
＝＋＋＋－>＋×3－＝，
所以当n＝k＋1时，命题也成立．
综合①②可知原命题成立．
题型 三　归纳—猜想—证明
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0 (1)写出a1，a2，a3；
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．
解　(1)设P1(x1，y1)，A1(a1,0)，
则x1＝，即a1＝2x1，
由y2＝3x得y1＝，
由|A0P1|＝|OA1|得， ＝a1，
即＋a1＝a，
由a1>0，所以a1＝2，
同理可得a2＝6，a3＝12.
(2)依题意，得xn＝，yn＝·，
由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)，
即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．
由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．
下面用数学归纳法予以证明：
①当n＝1时，命题显然成立；
②假设当n＝k时命题成立，即有an＝k(k＋1)，
则当n＝k＋1时，
由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得
[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，
即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1) 由①②知，命题成立．

归纳—猜想—证明的应用策略
一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.
(2019·常德模拟)设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解　(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k时猜想正确，即ak＝，
则ak＋1＝f(ak)＝＝
＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　组　基础关
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
答案　D
解析　当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．
2．对于不等式 (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 所以当n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验证得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
解析　从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．应该是：假设当n＝k时，不等式成立，即 3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　)
A．5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2k
C．(5－2)(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k
答案　A
解析　假设n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.
4．用数学归纳法证1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是________．
答案　2k
解析　用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)，当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和，当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1表示的为2k＋1项的和，因此，增加了2k＋1－2k＝2k项．
5．(2019·长春模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，点(an，an＋1)(n∈N*)在直线y＝2x＋1上．
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
解　(1)因为点(an，an＋1)(n∈N*)，
在直线y＝2x＋1上，所以an＋1＝2an＋1，因为a1＝1，
故a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，由上述结果，猜想：an＝2n－1.
(2)①当n＝1时，a1＝2－1＝1成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，ak＝2k－1成立，
那么，当n＝k＋1时，
ak＋1＝2ak＋1＝2(2k－1)＋1＝2k＋1－1成立，
由①②可得an＝2n－1.
　组　能力关
1．已知函数f1(x)＝sin，x∈R，记fn＋1(x)为fn(x)的导数，n∈N*.
(1)求f2(x)，f3(x)；
(2)猜想fn(x)，n∈N*的表达式，并证明你的猜想．
解　(1)f1(x)＝sin，f2(x)＝cos，
f3(x)＝－sin.
(2)猜想：fn(x)＝sin.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f1(x)＝sin，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即
fk(x)＝sin.
当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk′(x)＝×cos
＝sin
＝sin.
所以当n＝k＋1时，结论成立．
所以由①②可知对任意的n∈N*结论成立．
2．已知函数f(x)＝，xn＋1＝f(xn)，且x1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
解　由x1＝及xn＋1＝，得
x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6，猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明x2n>x2n＋2.
①当n＝1时，已证命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，
即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时命题也成立．
结合①②知，命题x2n>x2n＋2对于任何n∈N*成立．
故数列{x2n}是递减数列．