2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第12章第2讲　参数方程


第2讲　参数方程
[考纲解读]　了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点．预测2021年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.

1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tanα(x－x0)

(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)

提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．

1．概念辨析
(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．
答案　－
解析　因为所以3x＋2y＝7，因此直线的斜率为－.
(2)椭圆(θ为参数)的离心率为________．
答案　
解析　将消去参数θ，得椭圆＋＝1.
所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.
(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)
解析　由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．

题型 一　参数方程与普通方程的互化　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．
解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．
因为＝，即＝，
化简得(x＋1)2＋y2＝4，
所以点M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．
由圆的普通方程可得其参数方程为(θ为参数)．



1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．
(2)解题的一般步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝φ(t))，问题得解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
解　将直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，联立方程解得或
所以A(4,4)，B或A，B(4,4)．
所以|AB|＝＝.
题型 二　参数方程的应用　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


角度1　利用参数方程解最值问题
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1，若曲线C1上有一动点M，圆C2上有一动点N，求|MN|的最小值．
解　圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1，设曲线C1上的动点M(3cosα，2sinα)，易知点M在圆C2外，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝
＝＝，
所以当cosα＝时，|MC2|min＝，
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1，
即|MN|的最小值为－1.
角度2　参数几何意义的应用
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

1．设直线l的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用
(1)设M0(x0，y0)，若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.
(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.
(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
提醒：对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)写出直线l和曲线C的普通方程；
(2)已知曲线W：(α为参数)，若M为曲线W上任意一点，求点M到直线l的最小距离．
解　(1)由(t为参数)消去参数t，
得y＝x＋3.
即直线l的普通方程为x－y＋3＝0.
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由已知可设M(cosα，2sinα)(α为参数)，
则点M到直线l的距离
d＝＝(其中tanβ＝2)，
所以点M到直线l的距离的最小值为＝.
2．已知平面直角坐标系xOy，直线l过点P(0，)，且倾斜角为α，圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
(1)求直线l和圆C的参数方程；
(2)设直线l与圆C交于M，N两点，若|PM|－|PN|＝，求直线l的倾斜角α的值．
解　(1)因为直线l过点P(0，)，且倾斜角为α，
所以直线l的参数方程为(t为参数)．
圆C的参数方程为(θ为参数)．
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的普通方程，得
(tcosα－1)2＋(tsinα)2＝5，
整理，得t2－2tcosα－4＝0.
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2cosα，
所以|PM|－|PN|＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝，
所以cosα±.
因为0≤α<π，所以α＝或α＝.

题型 三　极坐标方程和参数方程的综合应用
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解　(1)因为－1<≤1，
且x2＋2＝2＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.

极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


(2019·六安模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ2＝4ρcosθ＋6ρsinθ－12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
(t为参数)．
(1)写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)将曲线C向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换
得到曲线E，设曲线E上任一点为M(x，y)，求x＋y的取值范围．
解　(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)．
∴消去参数t，得直线l的一般方程为x＋y－2－1＝0，
∵曲线C的极坐标方程是ρ2＝4ρcosθ＋6ρsinθ－12，
∴由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，
得曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)曲线D为x2＋y2＝1.曲线D经过伸缩变换
得到曲线E的方程为x2＋＝1，则点M的参数方程为(θ为参数)，
∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin，
∴x＋y的取值范围为[－2,2]．




　组　基础关
1．将圆x2＋y2＝4上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.
(1)写出曲线C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y＋2＝0与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
解　(1)因为圆x2＋y2＝4的参数方程为(φ为参数)，所以曲线C的参数方程为(φ为参数)．
(2)由得x2＋＝1.
解方程组得或
所以P1(0，－2)，P2(－1,0)．
所以线段P1P2的中点坐标为.
易知与直线l垂直的直线的斜率k＝，
所以过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的方程为y－(－1)＝x－，即2x－4y－3＝0.
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以其极坐标方程为2ρcosθ－4ρsinθ－3＝0.
2．已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
解　(1)∵ρ＝4cos＝2cosθ－2sinθ，
∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－)2＋(y＋)2＝4.
∴圆心C的直角坐标为(，－)．
(2)由直线l上的点向圆C引切线，则切线长为
＝
＝，又≥4，
∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4.
3．(2019·长春二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；
(2)当a＝1时，P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．
解　(1)直线l的普通方程为y＝(x－a)，
曲线C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos2θ＝3，
化简可得x2＋＝1，
故曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(2)当a＝1时，直线l的普通方程为x－y－＝0.
由曲线C的参数方程，可设点P的坐标为P(cosθ，sinθ)，
因此点P到直线l的距离可表示为
d＝＝|cosθ－sinθ－1|
＝.
当cos＝－1时，d取得最大值为.
4．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.
(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||＋||的值．
解　(1)由ρcos＝，得ρ＝，所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
根据题意，得|OP|＝＝，
因此曲线C上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为3.
(2)由(1)知直线l：x－y－2＝0与x轴的交点E的坐标为(2,0)，得直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，联立得5t2＋2t－5＝0，则t1＋t2＝－，t1t2＝－1，
所以||＋||＝|t1－t2|＝
＝.
　组　能力关
1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
(t是参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ.
(1)当m＝－1，α＝30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直线l的倾斜角．
解　(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线C是以点M(2,0)为圆心，2为半径的圆．
由直线l的参数方程为(t为参数)，
得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
由圆心M到直线l的距离d＝＝<2，
可知直线l与曲线C相交．
(2)由题意可得直线l是经过点P(1,0)，倾斜角为α的直线，
将代入(x－2)2＋y2＝4，
整理得t2－2tcosα－3＝0，Δ＝(－2cosα)2＋12>0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2异号，
则||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝1，所以cosα＝±.
又α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角为或.
2．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(其中t为参数，且0<α<π)，在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρtan2θ＝.设直线l经过定点P，且与曲线C交于A，B两点．
(1)求点P的坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)求证：不论α为何值，＋为定值．
解　(1)直线l的参数方程为(其中t为参数，且0<α<π)，
当t＝0时，得点P(1,0)，即定点P的坐标为(1,0)．
又曲线C的极坐标方程为ρtan2θ＝，
∴ρsin2θ＝2cosθ≠0，∴ρ2sin2θ＝2ρcosθ≠0，∴y2＝2x(x≠0)，
即曲线C的直角坐标方程为y2＝2x(x≠0)．
(2)证明：将直线l的参数方程代入y2＝2x(x≠0)，
整理，得t2sin2α－2tcosα－2＝0，其中0<α<π，
Δ＝4cos2α＋8sin2α＝4＋4sin2α>0，
∴t1＋t2＝，t1t2＝，
∴＋＝＋＝
＝＝1.
∴不论α为何值，＋都为定值1.
3．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值．
解　(1)由消去参数t，得x－y＝m，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得＋＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
(2)设P(2cosθ，sinθ)．由点到直线的距离公式，得
|PQ|＝＝.
由题意知m≠0.
当m>0时，|PQ|min＝＝2，
解得m＝2＋2；
当m<0时，|PQ|min＝＝2，
解得m＝－2－2.
所以m＝2＋2或m＝－2－2.
4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当<1，
解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.