2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第5讲　古典概型


第5讲　古典概型
[考纲解读]　1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基本事件及其事件发生的概率．(重点、难点)
2．了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率．
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预测2021年将会考查：①古典概型的基本计算；
②古典概型与其他知识相结合．题型以解答题为主，也可出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等.

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝.

1．概念辨析
(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. (　　)
(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)
(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是7的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　记抛掷两枚骰子向上的点数分别为a，b，则可得到数组(a，b )共有36组，其中满足a＋b＝7的共有6组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率为P＝＝.
(2)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种等可能发生的结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝＝.
(3)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　从5名医生中选派两名医生的基本事件总数n＝C＝10，恰选1名男医生和1名女医生的基本事件m＝CC＝6，所以所求事件概率P＝＝.故选D.
(4)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　所有可能的排列方法有A＝6种，2本数学书相邻的排列方法有A·A＝4种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)．所以根据概率的计算公式，所求概率为＝.故选C.

题型一　古典概型的简单问题

1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，这25种基本事件发生的可能性是相等的．第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.故选D.
2．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为＝.
3．(2019·全国卷Ⅰ) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.

1．求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．
2．基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
排列、组合法
当基本事件个数符合排列、组合模型时，可以用排列、组合数公式直接计数

1．(2019·湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　所有的情况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、乙都送给丙)(甲、乙都送给丁)共4种，这4种情况发生的可能性是相等的．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给丁的概率是.
2．(2020·南昌模拟)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　小明与小芳选课所有可能的结果有CC种，他们选课相同的结果有C种，故所求的概率P＝＝.
题型二　古典概型的交汇问题　

角度1　古典概型与平面向量相结合
1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解　由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共有36种．
(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为＝.
(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为＝.
角度2　古典概型与函数、方程相结合
2．(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为∴a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.
当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.
故满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝，故选C.
3．(2019·辽宁省实验中学模拟)设a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，则函数f(x)＝logx是增函数的概率为________．
答案　
解析　由已知条件，得的所有取值种数为3×4＝12.当>1时，f(x)为增函数，符合此条件的有，，，，，，共6种，所以函数f(x)＝logx是增函数的概率为＝.
角度3　古典概型与几何问题结合
4．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
答案　
解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种等可能的结果，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，当a＝4时，有3种，当a＝5时，有2种，当a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于＝.
角度4　古典概型与统计相结合
5．(2019· 绵阳模拟)目前有声书正受到越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如下图．

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”．
(1)完成下面的2×2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？

爱付费用户
不爱付费用户
合计
年轻用户



非年轻用户



合计



(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解　(1)根据题意可得2×2列联表如下：

爱付费用户
不爱付费用户
合计
年轻用户
24
40
64
非年轻用户
6
30
36
合计
30
70
100
由表中数据可得
K2＝＝≈4.76>3.841，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．
(2)由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，1人为“非年轻用户”，则从这5人中随机抽取2人的基本事件共有C＝10个．其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件共有C＝6个．所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为P＝＝.

1．求解古典概型的交汇问题的步骤
(1)根据相关知识构建事件满足的条件．
(2)根据条件列举所有符合的基本事件．
(3)利用古典概型的概率计算公式求概率．
2．破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”


1．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　易知所有基本事件有36个，若m∥n，则＝，即b＝2a.所以m与n共线包含的基本事件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，所以m与n不共线的概率为1－＝.
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.
3．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
答案　
解析　点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.
4．(2019·武威模拟)某市第三中学统计了高三年级学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；
(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均数及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．
解　(1)甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128.乙成绩的频率分布直方图如下图所示．

(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均数比甲的成绩的平均数高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．
(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个，乙同学的不低于140分的成绩有3个，现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，共有C＝10种结果．其中这2个成绩分属不同同学的情况共有CC＝6种．因此事件A发生的概率P(A)＝＝.

　组　基础关
1．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　所有基本事件为32,34,52,54,23,25,43,45，共8种，其中能被5整除的是25,45，共2种，故这个数能被5整除的概率为＝.
2．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　(a，b)所有可能的结果为3×3＝9种．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，所以直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝，故选A.
3．(2019·武汉市高三调研)从装有3双不同鞋的柜子中，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　从3双不同的鞋子中随机取2只，共有C＝15种可能结果，成对的有3种结果，不成对的有12种结果，所以所求概率P＝＝，故选B.
4．(2019·沈阳模拟)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》…《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以P()＝＝，因此P(A)＝1－P()＝1－＝.
5．(2019·汉中二模)在一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意，得基本事件总数n＝24＝16，至少有1人选作第23题的对立事件是无人选择第23题，∴至少有1人选作第23题的概率P＝1－＝.
6．(2019·合肥三模)若a，b是从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取的2个元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取两个元素共有A＝20种，要使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数，a，b必须都为奇数，共有A＝6种，则函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为P＝＝.
7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.故选C.
8．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
答案　
解析　如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6种，因此所求概率P＝＝.

9．如图所示是某市2019年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________．
答案　
解析　某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天，基本事件总数n＝12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m＝5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P＝＝.
10．(2019·江苏苏州模拟)若a，b∈{0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为________．
答案　
解析　a，b∈{0,1,2}，当函数f(x)＝ax2＋2x＋b没有零点时，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，
∴(a，b)有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)．
基本事件总数n＝3×3＝9，
∴函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为P＝1－＝.
　组　能力关
1．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，从该三棱锥的6条棱中任选2条，共有15种不同的选法，其中互相垂直的2条棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5种情况，所以这2条棱互相垂直的概率P＝＝.
2．(2020·抚州摸底)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教．若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　小明与另外3名大学生分配到甲、乙、丙3个村小学，共有CA种分配方法，其中小明恰好分配到甲村小学有CA＋CA种方法，所以小明恰好分配到甲村小学的概率为＝.
3．(2019·广州模拟)已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，S4＝π(其中π为圆周率)，a4＝2a2，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝π(其中π为圆周率)，a4＝2a2，∴解得a1＝d＝，∴an＝＋(n－1)×＝，∴前30项中，第6项至第14项和第26项至第30项的余弦值是负数，∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为P＝.
4．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则构成椭圆＋＝1且离心率e>的概率是________．
答案　
解析　同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝ >⇒<⇒a>2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；当b＝2时，有a＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是＝.同理当a的概率也为.综上可知e>的概率为.
5．(2019·郴州三模)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：
组别
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成未补全的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

非“环保关注者”
是“环保关注者”
总计
男



女



合计



(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中，利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”，又有女“环保达人”的概率．
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解　(1)由题意填写列联表如下：

非“环保关注者”
是“环保关注者”
总计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
根据表中数据，计算K2＝≈3.030<3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关．
(2)由题意可知，利用分层抽样的方法，得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．从中抽取2人的所有情况为C＝10种，其中既有男“环保达人”，又有女“环保达人”的情况为CC＝6种．故所求的概率为P＝＝.
　组　素养关
1．(2019·上饶模拟)研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间y(单位：分钟)有如下关系．
到学校的距离
x(千米)
1.8
2.6
3.1
4.3
5.5
6.1
花费的时间
y(分钟)
17.8
19.6
27.5
31.3
36.0
43.2
如果统计资料表明y与x有线性相关关系，
(1)判断y与x是否有很强的线性相关性；
(相关系数r的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01)
(2)求线性回归方程＝x＋ (精确到0.01)；
(3)将<27的时间数据i称为美丽数据，现从这6个时间数据i中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率．
参考数据：i＝175.4，iyi＝764.36，(xi－)(yi－)＝80.30，(xi－)2＝14.30，(yi－)2＝471.65, ＝82.13.
参考公式：r＝，
＝.
解　(1)r＝＝≈0.98>0.75，
∴y与x有很强的线性相关性．
(2)依题意，得＝3.9，＝i≈29.23，
(xi－)(yi－)＝80.30，(xi－)2＝14.30，
所以＝＝≈5.62.
又＝－ ≈29.23－5.62×3.9≈7.31，
故线性回归方程为＝5.62x＋7.31.
(3)由(2)可知，当x＝3.1时，3＝24.732<27，当x＝4.3时，4＝31.476>27，所以满足<27的美丽数据共有3个，另3个不是美丽数据，则从6个数据中任取2个，共有C＝15种情况，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有C＝3种情况，所以从这6个数据i中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为P＝.
2．(2019·淄博模拟)《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E八个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91, 100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．

假设小明转换后的等级成绩为x，则
＝，
x≈63.45≈63(四舍五入取整)．
故小明最终成绩：63分．
某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下．
成绩
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
4
2
4
3
3
3
2
7
(1)求物理获得等级A的学生等级成绩的平均分(四舍五入取整数)；
(2)从物理原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率．
解　(1)设物理成绩获得等级A的学生原始成绩为x，其等级成绩为y，
由转换公式得＝，解得y＝(x－82)＋91，∴原始成绩的平均分为
＝85＋×[1×8＋1×6＋4×5＋2×3＋4×2＋3×1＋3×0＋3×(－1)＋2×(－2)＋7×(－3)]＝85≈85.77≈86，
∴等级成绩的平均分为≈×(86－82)＋91≈94.
(2)物理成绩不小于90分的学生共有6名．其中1名原始成绩为93的学生的等级成绩为100,1名原始成绩为91，由转换公式得其等级成绩为98，4名原始成绩为90，由转换公式得其等级成绩为98，任取2名同学的所有结果为C＝15种，等级分数不相等的情况为1×5＝5种，由古典概型计算公式得2名同学等级成绩不相等的概率P＝＝.