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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第4讲 随机事件的概率
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第4讲 随机事件的概率
[考纲解读] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．会用频率估计概率，掌握概率的基本性质．(重点)
3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2021年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；②随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率．试题难度不大，属中、低档题型.
1.事件的分类
2．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且
A∪B＝U
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
1．概念辨析
(1)“方程x2＋x＋1＝0有两个实根”是不可能事件．( )
(2)频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．( )
(3)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生．( )
(4)对于任意事件A，B，总有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．( )
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
答案 C
解析 3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．
(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．
(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
答案 0.35
解析 “抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
(4)刘老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
42
80～89分
172
70～79分
240
60～69分
86
50～59分
52
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
①90分以上的概率是________；
②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．
答案 ①0.07 ②0.1
解析 用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为＝0.07，不及格的概率为＝0.1.
题型一 互斥、对立事件的判断
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
答案 A
解析 “甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．
2．从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是( )
A．恰有1个是奇数和全是奇数
B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数
C．至少有1个是奇数和全是奇数
D．至少有1个是偶数和全是偶数
答案 A
解析 从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥．
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．
答案 ①④
解析 对于事件①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事件②，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件．
题型二 随机事件的频率与概率
1．(2019·石家庄模拟)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为＝.故选C.
2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表．
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；
(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解 (1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.
(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.
1．概率与频率的关系
2．随机事件概率的求法
对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
(1)求次品出现的频率(次品率)；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？
解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.
(2)由(1)，知出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.
(3)设需进货x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件．
题型三 互斥事件与对立事件的概率
角度1 互斥事件概率公式的应用
1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 B
解析 设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.
角度2 对立事件概率公式的应用
2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数/人
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解 记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.
求复杂的互斥事件概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
1．(2019·天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．
答案 0.74
解析 由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
2．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
组 基础关
1．(2019·银川四校联考)下列结论正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必满足0
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案 C
解析 A错误，应该有0≤P(A)≤1；由概率的意义可知，B，D错误，C正确．
2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
答案 C
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B.
C. D．1
答案 C
解析 因为从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为＋＝.
4．(2019·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案 C
解析 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，得身高超过175 cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2.
6．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15% B．20%
C．45% D．65%
答案 D
解析 因为该地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为该病人输血的概率为50%＋15%＝65%.故选D.
7．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P()＝1－P(B)＝1－＝.∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
8．某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数
8
19
44
92
178
455
则这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为________(精确到0.1)．
答案 0.9
解析 根据已知条件列出下表：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数
8
19
44
92
178
455
频率
0.80
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
由表中数据可估计这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.
9．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
答案 0.16
解析 设P(A)＝x，则P(B)＝3x，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，则P(A)＝0.16.
10．一个不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________．
答案
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C：“取得两个同颜色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色球的概率为P(C)＝＋＝.
由于事件A：“至少取得一个红球”与事件B：“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
组 能力关
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
答案 D
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故各事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得即
解得
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
4．某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2019年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：
购物金
额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
发放金额
50
100
150
200
(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．
解 (1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：
x
0.3≤x
<0.5
0.5≤x
＜0.6
0.6≤x
＜0.8
0.8≤x
≤0.9
y
50
100
150
200
频率
0.4
0.3
0.28
0.02
这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.
(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)，知
P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，
P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，
从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.
组 素养关
1．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站，由(2)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B1)
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据，知一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据，知一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据，得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
第4讲 随机事件的概率
[考纲解读] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．会用频率估计概率，掌握概率的基本性质．(重点)
3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2021年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；②随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率．试题难度不大，属中、低档题型.
1.事件的分类
2．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅且
A∪B＝U
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
1．概念辨析
(1)“方程x2＋x＋1＝0有两个实根”是不可能事件．( )
(2)频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．( )
(3)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生．( )
(4)对于任意事件A，B，总有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．( )
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
答案 C
解析 3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．
(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．
(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
答案 0.35
解析 “抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
(4)刘老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
42
80～89分
172
70～79分
240
60～69分
86
50～59分
52
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
①90分以上的概率是________；
②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．
答案 ①0.07 ②0.1
解析 用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为＝0.07，不及格的概率为＝0.1.
题型一 互斥、对立事件的判断
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
答案 A
解析 “甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．
2．从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是( )
A．恰有1个是奇数和全是奇数
B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数
C．至少有1个是奇数和全是奇数
D．至少有1个是偶数和全是偶数
答案 A
解析 从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥．
判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．
答案 ①④
解析 对于事件①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事件②，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件．
题型二 随机事件的频率与概率
1．(2019·石家庄模拟)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为＝.故选C.
2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表．
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；
(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解 (1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.
(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.
1．概率与频率的关系
2．随机事件概率的求法
对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
(1)求次品出现的频率(次品率)；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？
解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.
(2)由(1)，知出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.
(3)设需进货x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件．
题型三 互斥事件与对立事件的概率
角度1 互斥事件概率公式的应用
1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 B
解析 设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.
角度2 对立事件概率公式的应用
2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数/人
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解 记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得
P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得
P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.
求复杂的互斥事件概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
1．(2019·天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．
答案 0.74
解析 由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
2．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
组 基础关
1．(2019·银川四校联考)下列结论正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必满足0
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案 C
解析 A错误，应该有0≤P(A)≤1；由概率的意义可知，B，D错误，C正确．
2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
答案 C
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B.
C. D．1
答案 C
解析 因为从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为＋＝.
4．(2019·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案 C
解析 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，得身高超过175 cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2.
6．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．15% B．20%
C．45% D．65%
答案 D
解析 因为该地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为该病人输血的概率为50%＋15%＝65%.故选D.
7．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P()＝1－P(B)＝1－＝.∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
8．某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数
8
19
44
92
178
455
则这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为________(精确到0.1)．
答案 0.9
解析 根据已知条件列出下表：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数
8
19
44
92
178
455
频率
0.80
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
由表中数据可估计这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.
9．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
答案 0.16
解析 设P(A)＝x，则P(B)＝3x，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，则P(A)＝0.16.
10．一个不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________．
答案
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C：“取得两个同颜色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色球的概率为P(C)＝＋＝.
由于事件A：“至少取得一个红球”与事件B：“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
组 能力关
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
答案 D
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故各事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得即
解得
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
4．某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2019年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：
购物金
额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
发放金额
50
100
150
200
(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．
解 (1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：
x
0.3≤x
<0.5
0.5≤x
＜0.6
0.6≤x
＜0.8
0.8≤x
≤0.9
y
50
100
150
200
频率
0.4
0.3
0.28
0.02
这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.
(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)，知
P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，
P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，
从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.
组 素养关
1．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站，由(2)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B1)
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据，知一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据，知一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据，得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
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