2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第7讲　离散型随机变量及其分布列


第7讲　离散型随机变量及其分布列
[考纲解读]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点)
3．理解超几何分布，并能进行简单的应用．
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容．预测2021年将会考查：①与排列组合及统计知识结合的分布列；②与独立重复事件结合的分布列．试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型.

1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P


…

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

1．概念辨析
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
(4)若随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．小题热身
(1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为(　　)
A．0,1 B．1,2
C．0,1,2 D．0,1,2,3
答案　C
解析　由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2.
(2)设随机变量X的分布列如下．
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质得，＋＋＋＋p＝1，
解得p＝.
(3)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　C
解析　P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝.故选C.
(4)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
答案　
解析　设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，
其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝＋＝.

题型一　离散型随机变量分布列的性质　

1．(2019·乐山三模)设随机变量X的概率分布表如表，
X
1
2
3
4
P


m

则P(|X－2|＝1)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由|X－2|＝1，可解得x＝3或x＝1，再由分布列的性质可得m＝1－＋＋＝，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.
2．设随机变量ξ的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解　由已知分布列如下．
ξ





P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝＋＋＝.

(3)因为<ξ<只有ξ＝，，满足，
故P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
结论探究　在本例中的条件下，求5ξ－1的分布列．
解　由举例说明解析得ξ的分布列如下．
ξ





P





所以5ξ－1的分布列如下．
5ξ－1
0
1
2
3
4
P






1．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．
2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题
(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．
(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.

1．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下．
X
－1
0
1
P

2－3q
q2
则q的值为(　　)
A．1 B.±
C.－ D.＋
答案　C
解析　由分布列的性质知
解得q＝－.
2．(2019·曲靖二模)已知随机变量ξ的分布列如下．
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P






若P(ξ2 A．4 C．x<4或x≥9 D．x≤4或x>9
答案　A
解析　由随机变量ξ的分布列，得
ξ2的可能取值为0,1,4,9，
且P(ξ2＝0)＝，P(ξ2＝1)＝＋＝，
P(ξ2＝4)＝＋＝，P(ξ2＝9)＝，
由P(ξ2 题型二　求离散型随机变量的分布列

(2019·长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行了统计：
点击量
[0,1000]
(1000,3000]
(3000，＋∞)
节数
6
18
12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．
解　(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1000]内的有1节，点击量在区间(1000,3000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝20)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
则X的分布列如下．
X
0
20
40
60
P





离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明确取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.

抛掷一枚质地均匀的硬币3次．
(1)写出正面向上次数X的分布列；
(2)求至少出现两次正面向上的概率．
解　(1)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列如下．
X
0
1
2
3
P




(2)至少出现两次正面向上的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
题型三　超几何分布

2019年8月的台风“利奇马”对我国多个省市的财产造成了重大损害，据统计直接经济损失达537.2亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成5组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列．
解　(1)记每个农户的平均损失为元，则
＝(1000×0.00015＋3000×0.00020＋5000×0.00009＋7000×0.00003＋9000×0.00003)×2000＝3360.
(2)由频率分布直方图，得损失超过4000元的农户共有(0.00009＋0.00003＋0.00003)×2000×50＝15(户)，
损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3(户)，
随机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2；
计算P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列如下．
X
0
1
2
P




1．超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的应用条件
(1)考察对象分两类．
(2)已知各类对象的个数．
(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布．
3．求超几何分布的分布列的步骤


已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解　(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列如下．
X
0
1
2
3
P




②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A＝B∪C，且B与C互斥，
由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以，事件A发生的概率为.

　组　基础关
1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验结果是(　　)
A．一颗是3点，另一颗是1点
B．两颗都是2点
C．两颗都是4点
D．一颗是3点，另一颗是1点或两颗都是2点
答案　D
解析　A，B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4；而D是ξ＝4代表的所有试验结果．故选D.
2．设离散型随机变量ξ的分布列如下．
ξ
0
1
2
3
4
P





则|ξ－1|的分布列为(　　)
A.
|ξ－1|
1
2
3
P



B.
|ξ－1|
1
2
3
P



C.
|ξ－1|
0
1
2
3
P




D.
|ξ－1|
0
1
2
3
P




答案　D
解析　由已知得，|ξ－1|的所有可能取值为0,1,2,3.
P(|ξ－1|＝0)＝P(ξ＝1)＝，P(|ξ－1|＝1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝，P(|ξ－1|＝2)＝P(ξ＝3)＝，
P(|ξ－1|＝3)＝P(ξ＝4)＝.
所以|ξ－1|的分布列为D.
3．某一随机变量ξ的概率分布如下，且m＋2n＝1.2，则m－＝(　　)
ξ
0
1
2
3
p
0.1
m
n
0.1
A．－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
答案　B
解析　由m＋n＋0.2＝1，m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，所以m－＝0.2.故选B.
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a·i，i＝1,2,3，则a＝(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，即a[＋（）2＋（）3]＝1，解得a＝.故选D.
5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
答案　B
解析　由题意可知，P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，表示取1个白球或者一个白球都没有取得，即P(X≤1)．
6．若随机变量X的分布列如下，
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X 7．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P（ A. B.
C. D.
答案　D
解析　由（＋＋＋）×a＝1，得a＝1，解得a＝.故P（ 8．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(至少使用过一次)，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
答案　
解析　由题意，得X＝4是指取出的3个球中有2个旧的1个新的，所以P(X＝4)＝＝.
9．从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ，则ξ的分布列为________．
答案　
ξ
0
2
4
P



解析　由题意，得ξ的可能取值为0,2,4，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，所以ξ的分布列如下．
ξ
0
2
4
P



10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的分布列为________．
答案　
X
0
1
2
4
P




解析　随机变量X的可能取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以分布列为
X
0
1
2
4
P




　组　能力关
1．(2020·长沙质检)一个不透明的袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
答案　D
解析　当X＝2时，即前2个取出的是白球，第3个是黑球，前2个取出白球，有A种取法，再任意取出1个黑球即可，有C种取法，而这3次取球可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次取球的顺序，即A，P(X＝2)＝＝.
2．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下，
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意，知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.
3．已知某一离散型随机变量X的分布列如下，
X
0
1
2
3
P
0.1
m
4n
0.1
则＋的最小值为________．
答案　
解析　由题意，得m＋4n＋0.2＝1，m＞0，n＞0.
即m＋4n＝，(m＋4n)＝1.
所以＋＝(m＋4n)＝≥(5＋2)＝，
当且仅当＝即m＝2n，n＝，m＝时，“＝”成立．
4．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．
解　(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为0，－1,1，因此P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列如下．
X
0
－1
1
P



　组　素养关
1．(2019·长春二模)某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如下．
A企业：
工资
人数
[2000,3000)
5
[3000,4000)
10
[4000,5000)
20
[5000,6000)
42
[6000,7000)
18
[7000,8000)
3
[8000,9000)
1
[9000,10000]
1
B企业：

(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；
(2)①若从A企业收入在[2000,5000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000,4000)内的人数X的分布列；
②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．
解　(1)由饼状图知，工资不低于5000元的有68人，故从B企业中随机抽取一名员工，该员工收入不低于5000元的概率为0.68.
(2)①A企业员工收入在[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)三个不同层次的人数比为1∶2∶4，即按照分层抽样的方式所抽取的7人收入在[3000,4000)的人数为2.X的可能取值为0,1,2，
因此P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
得X的分布列如下，
X
0
1
2
P



②A企业的员工平均收入为×(2500×5＋3500×10＋4500×20＋5500×42＋6500×18＋7500×3＋8500×1＋9500×1)＝5260，
B企业的员工平均收入为×(2500×2＋3500×7＋4500×23＋5500×50＋6500×16＋7500×2)＝5270.
参考答案一：选B企业，由于B企业员工的平均收入高．
参考答案二：选A企业，A企业员工的平均收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的．
参考答案三：选B企业，由于B企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少．
(如有其他情况，只要理由充分，也可给分)
2．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)＝考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分．在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率)．
(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求P(ξ＝7)；
(3)求随机变量ξ的分布列．
解　(1)因为
f(x)＝
所以＋＋＋＋＝1，
所以b＝1.9.
估计该班的考试平均分数为
×55＋×65＋×75＋×85＋×95＝76.
(2)由题意可知，考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1，按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P(ξ＝7)＝＝.
(3)由题意，知ξ的可能取值为5,6,7,8,9，
P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，
P(ξ＝7)＝，P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝.
所以ξ的分布列如下．
ξ
5
6
7
8
9
P