还剩14页未读，
继续阅读
所属成套资源：2021高考数学人教版一轮创新教学案
成套系列资料，整套一键下载
2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第5讲 指数与指数函数
展开
第5讲 指数与指数函数
[考纲解读] 1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．
2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)
3．通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2021年高考主要以函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向，也有可能与其他知识相结合进行考查.
1.根式
n次方根
定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，n∈N*
性质
当n是奇数时，a的n次方根为x＝
当n是偶数时，正数a的n次方根为x＝±，负数的偶次方根没有意义
0的任何次方根都是0，记作 ＝0
续表
根式
定义
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
当n＞1且n∈N*时，()n＝a(n为偶数时，a≥0)；
当n＞1且n为奇数时，＝a(a∈R)；
当n＞1且n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
②正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
0
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0
在R上是增函数
在R上是减函数
1．概念辨析
(1)已知π为圆周率，则＝π－5.( )
(2)[(－2)6]＝(－2)6×＝(－2)3＝－8.( )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )
(4)若am0，且a≠1)，则m
2．小题热身
(1)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.
(2)化简 的结果是________．
答案 －
解析 由题意得x<0，所以＝＝＝＝－.
(3)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
答案
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
(4)若指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－2，－1)
解析 因为指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，所以0
题型 一 指数幂的化简与求值
1．化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．
答案 a
解析 (a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.
2. ＋0.002－－10×(－2)－1－0＋[(－2)3]－的值为________．
答案 －18.25
解析 原式＝＋500－10×(＋2)－1＋(23)－＝＋10－10－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.
3．若x＋x－＝3，则的值为________．
答案
解析 由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x－＝(x＋x－)3－3(x＋x－)＝27－9＝18，所以原式＝＝.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．如举例说明1.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．如举例说明2.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．如举例说明1.
1．化简a·＋()5＋的值为________．
答案 －
解析 由题意，得a<0，
所以原式＝a·＋a＋|a|
＝a··＋a－a＝－.
2．已知＋b＝1，则＝________.
答案 3
解析 由＋b＝1，得b＝1－，
所以＝32a×31－×3－＝32a＋1－－＝3.
题型 二 指数函数的图象及应用
1．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
答案 A
解析 由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．
2．函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
答案 A
解析 函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.
条件探究 将本例中的函数改为“f(x)＝2|x－1|”，其图象是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝2|x－1|＝
所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A，C，D.
3．已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，给出下列5个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 实数a，b满足等式2019a＝2020b，即y＝2019x在x＝a处的函数值和y＝2020x在x＝b处的函数值相等．
由图可知，当a＜b＜0，a＝b＝0或0＜b＜a时，即①②⑤都可能成立．
1．准确把握指数函数图象的特征
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系
如图所示，其中0
(1)依据：恒等式a0＝1(a≠0)．
(2)方法：求形如f(x)＝M·akx＋b＋N的图象恒过的定点，首先由kx＋b＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．如举例说明1.
3．有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．如举例说明2.
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．如举例说明3.
1．函数y＝3x，y＝5x，y＝x在同一坐标系中的图象是( )
答案 B
解析 沿直线x＝1，自下而上先后为y＝x，y＝3x，y＝5x的图象．故选B.
2．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 ∵指数函数y＝ax的图象关于y轴对称的图象的解析式为y＝a－x，且函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，∴x＝a－x＝x，∴＝，2a－4＞0且2a－4≠1，a＞0且a≠1，∴a＝4.
题型 三 指数函数的性质及其应用
角度1 比较指数幂的大小
1．(2020·许昌四校联考)设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是( )
A．aa＜ab B．ba＜bb
C．aa＜ba D．bb＜ab
答案 C
解析 指数函数y＝ax(0＜a＜1)为减函数，因为a＜b，所以aa＞ab，A错误；指数函数y＝bx(0＜b＜1)为减函数，因为a＜b，所以ba＞bb，B错误；幂函数y＝xa(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以aa＜ba，C正确；由幂函数y＝xb(0＜b＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以bb＞ab，D错误．
角度2 解指数不等式
2．不等式2－x2＋2x>x＋4的解集为________．
答案 {x|－1
3．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
1．比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
又不同指
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小
2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明2.
3．两类复合函数的最值(或值域)问题
(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值．
4．对于形如y＝af(x)的函数的单调性
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若0
1．(2019·凌源模拟)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
答案 A
解析 因为函数y＝x在R上单调递减．所以＜，即b＜c.又函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，即c＜a.综上，b＜c＜a.
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，∴a>－3.又a<0，∴－3
答案 3
解析 设ax＝t，∵a＞1，x∈[－1,1]，∴t∈.
∵y＝a2x＋2ax－1＝(ax)2＋2ax－1，
∴函数化为y＝t2＋2t－1.
由二次函数性质得对称轴为直线t＝－1，
∴函数在t∈上单调递增，
∴当t＝a时，函数取得最大值a2＋2a－1.
∵函数最大值为14，∴a2＋2a－1＝14.
解得a＝3或a＝－5，∵a＞1，∴a＝3.
组 基础关
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
答案 C
解析 原式＝＝＝a2－＝a.
2．(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案 A
解析 因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.
3．(2019·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
4．函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是( )
答案 C
解析 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.
5．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.
6．设x>0，且1
解析 ∵x>0时，11.∵x>0时，bx0时，x>1.∴>1，∴a>b，∴1
A．1 B．a
C．2 D．a2
答案 A
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.
8．(2020·中山一中摸底)化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝________.
答案 4a
解析 原式＝(2a·b)(－6ab)÷(－3ab)＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4a.
9．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (2，＋∞)
解析 由解得x＞2.
所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
10．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，>0，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)∪(2，＋∞)
解析 由题意知f(x)在R上是单调递增函数，当02时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递增．故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
组 能力关
1．(2019·菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为( )
A. B.
C. D．(0,2]
答案 A
解析 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域为.
2．(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝( )
A. B.
C．2 D．3
答案 A
解析 设C(0，yC)，因为AC⊥CO，则设A(xA，yC)，
于是B(xA，2yC)，E.
因为平行四边形OABC的面积为8，所以yC·xA＝8，因为点E，B在y＝ax的图象上，则axA＝2yC，a＝yC，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，则xA＝4，于是a4＝4，因为a>0，所以a＝.
3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，∴0∈[a，b]．
2和－2至少有一个属于区间[a，b]，故区间[a，b]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．
即区间[a，b]长度的最小值为2.
5．(2019·安阳质检)若不等式(m2－m)2x－x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－2,3)
解析 (m2－m)2x－x＜1可变形为m2－m＜x＋2.
设t＝x(t≥2)，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.
6．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
解 ①当0
②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2.
若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
第5讲 指数与指数函数
[考纲解读] 1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．
2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)
3．通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2021年高考主要以函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向，也有可能与其他知识相结合进行考查.
1.根式
n次方根
定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，n∈N*
性质
当n是奇数时，a的n次方根为x＝
当n是偶数时，正数a的n次方根为x＝±，负数的偶次方根没有意义
0的任何次方根都是0，记作 ＝0
续表
根式
定义
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
当n＞1且n∈N*时，()n＝a(n为偶数时，a≥0)；
当n＞1且n为奇数时，＝a(a∈R)；
当n＞1且n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
②正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
(a>0且
a≠1)
a>1
0
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；
当x<0时，0
在R上是增函数
在R上是减函数
1．概念辨析
(1)已知π为圆周率，则＝π－5.( )
(2)[(－2)6]＝(－2)6×＝(－2)3＝－8.( )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )
(4)若am
2．小题热身
(1)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.
(2)化简 的结果是________．
答案 －
解析 由题意得x<0，所以＝＝＝＝－.
(3)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
答案
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.
(4)若指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
答案 (－2，－1)
解析 因为指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，所以0
题型 一 指数幂的化简与求值
1．化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示)．
答案 a
解析 (a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.
2. ＋0.002－－10×(－2)－1－0＋[(－2)3]－的值为________．
答案 －18.25
解析 原式＝＋500－10×(＋2)－1＋(23)－＝＋10－10－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.
3．若x＋x－＝3，则的值为________．
答案
解析 由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x－＝(x＋x－)3－3(x＋x－)＝27－9＝18，所以原式＝＝.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．如举例说明1.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．如举例说明2.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．如举例说明1.
1．化简a·＋()5＋的值为________．
答案 －
解析 由题意，得a<0，
所以原式＝a·＋a＋|a|
＝a··＋a－a＝－.
2．已知＋b＝1，则＝________.
答案 3
解析 由＋b＝1，得b＝1－，
所以＝32a×31－×3－＝32a＋1－－＝3.
题型 二 指数函数的图象及应用
1．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
答案 A
解析 由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．
2．函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
答案 A
解析 函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.
条件探究 将本例中的函数改为“f(x)＝2|x－1|”，其图象是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝2|x－1|＝
所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A，C，D.
3．已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，给出下列5个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 实数a，b满足等式2019a＝2020b，即y＝2019x在x＝a处的函数值和y＝2020x在x＝b处的函数值相等．
由图可知，当a＜b＜0，a＝b＝0或0＜b＜a时，即①②⑤都可能成立．
1．准确把握指数函数图象的特征
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系
如图所示，其中0
(1)依据：恒等式a0＝1(a≠0)．
(2)方法：求形如f(x)＝M·akx＋b＋N的图象恒过的定点，首先由kx＋b＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．如举例说明1.
3．有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．如举例说明2.
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．如举例说明3.
1．函数y＝3x，y＝5x，y＝x在同一坐标系中的图象是( )
答案 B
解析 沿直线x＝1，自下而上先后为y＝x，y＝3x，y＝5x的图象．故选B.
2．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 ∵指数函数y＝ax的图象关于y轴对称的图象的解析式为y＝a－x，且函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，∴x＝a－x＝x，∴＝，2a－4＞0且2a－4≠1，a＞0且a≠1，∴a＝4.
题型 三 指数函数的性质及其应用
角度1 比较指数幂的大小
1．(2020·许昌四校联考)设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是( )
A．aa＜ab B．ba＜bb
C．aa＜ba D．bb＜ab
答案 C
解析 指数函数y＝ax(0＜a＜1)为减函数，因为a＜b，所以aa＞ab，A错误；指数函数y＝bx(0＜b＜1)为减函数，因为a＜b，所以ba＞bb，B错误；幂函数y＝xa(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以aa＜ba，C正确；由幂函数y＝xb(0＜b＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以bb＞ab，D错误．
角度2 解指数不等式
2．不等式2－x2＋2x>x＋4的解集为________．
答案 {x|－1
3．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
1．比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
又不同指
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小
2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明2.
3．两类复合函数的最值(或值域)问题
(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值．
4．对于形如y＝af(x)的函数的单调性
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若0
1．(2019·凌源模拟)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
答案 A
解析 因为函数y＝x在R上单调递减．所以＜，即b＜c.又函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，即c＜a.综上，b＜c＜a.
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
答案 (－3,1)
解析 当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，∴a>－3.又a<0，∴－3
答案 3
解析 设ax＝t，∵a＞1，x∈[－1,1]，∴t∈.
∵y＝a2x＋2ax－1＝(ax)2＋2ax－1，
∴函数化为y＝t2＋2t－1.
由二次函数性质得对称轴为直线t＝－1，
∴函数在t∈上单调递增，
∴当t＝a时，函数取得最大值a2＋2a－1.
∵函数最大值为14，∴a2＋2a－1＝14.
解得a＝3或a＝－5，∵a＞1，∴a＝3.
组 基础关
1．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
答案 C
解析 原式＝＝＝a2－＝a.
2．(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案 A
解析 因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.
3．(2019·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
4．函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是( )
答案 C
解析 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.
5．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.
6．设x>0，且1
解析 ∵x>0时，1
A．1 B．a
C．2 D．a2
答案 A
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.
8．(2020·中山一中摸底)化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝________.
答案 4a
解析 原式＝(2a·b)(－6ab)÷(－3ab)＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4a.
9．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (2，＋∞)
解析 由解得x＞2.
所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
10．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，>0，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)∪(2，＋∞)
解析 由题意知f(x)在R上是单调递增函数，当0
组 能力关
1．(2019·菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为( )
A. B.
C. D．(0,2]
答案 A
解析 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域为.
2．(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝( )
A. B.
C．2 D．3
答案 A
解析 设C(0，yC)，因为AC⊥CO，则设A(xA，yC)，
于是B(xA，2yC)，E.
因为平行四边形OABC的面积为8，所以yC·xA＝8，因为点E，B在y＝ax的图象上，则axA＝2yC，a＝yC，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，则xA＝4，于是a4＝4，因为a>0，所以a＝.
3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，∴0∈[a，b]．
2和－2至少有一个属于区间[a，b]，故区间[a，b]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．
即区间[a，b]长度的最小值为2.
5．(2019·安阳质检)若不等式(m2－m)2x－x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－2,3)
解析 (m2－m)2x－x＜1可变形为m2－m＜x＋2.
设t＝x(t≥2)，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.
6．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
解 ①当0
②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2.
若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
相关资料
更多
