2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第八章　解析几何

第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0°　．

(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．

知识点二　直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__tanα__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝　　．

知识点三　直线方程的五种形式

直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论错误的是(　ABC　)

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率

B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示

C．不经过原点的直线都可以用＋＝1表示

D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示

题组二　走进教材

2．(必修2P38T3)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　B　)

A．－1  B．－3

C．0  D．2

[解析]　由＝＝y＋2，

得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3．

3．(必修2P100A组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x－2y＝0或x＋y－5＝0__．

[解析]　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，

则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0．

题组三　考题再现

4．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　D　)

A．x－y＋1＝0  B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0  D．x＋y＋1＝0

5．(2019·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　A　)

A．ab>0，bc<0  B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0  D．ab<0，bc<0

[解析]　由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即，∴，故选A．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　直线的倾斜角与斜率——自主练透

例1　(1)(2019·兰州模拟)直线2xcosα－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的变化范围是(　B　)

A．[，]  B．[，]

C．[，]  D．[，]

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为　(－∞，－]∪[1，＋∞)　．

[解析]　(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈[，]，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈[，]，即倾斜角的变化范围是[，]．

(2)如图，

∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)

[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的倾斜角α的范围为　[0，)∪(，π)　．

[引申2]若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为　[，]　．

[解析]　

∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，

kBP＝＝．

如图可知，直线l斜率的取值范围为[，]．

名师点拨 ☞

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．

(2)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴．

〔变式训练1〕

(1)(2020·大庆模拟)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　B　)

A．[0，π)  B．[0，]∪[，π)

C．[0，]  D．[0，]∪(，π)

(2)(多选题)(2019·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的值可以是(　ABC　)

A．  B．－2

C．0  D．1

[解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－sinα，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π]，所以0≤θ≤或≤θ<π，选B．

(2)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，

若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，

∵kPA＝－2，kPB＝，

∴－2≤k≤，故选A、B、C．

考点二　直线的方程——师生共研

例2　求适合下列条件的直线的方程：

(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；

(2)经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；

(3)过点(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；

(4)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．

[解析]　(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝．

∴cosα＝±，直线的斜率k＝tanα＝±．

又直线在y轴上的截距是－5，

由斜截式得直线方程为y＝±x－5．

即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0．

(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为．

又直线过点(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0．

(3)若直线过原点，则其斜率k＝，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0．

若直线不过原点，则设其方程为＋＝1，由＋＝1得b＝，故所求直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0．

∴所求直线的方程为x＋2y－9＝0或2x－5y＝0．

(4)直线3x－4y－5＝0的斜率为，与y轴交点为(0，－)，故所求直线的斜率为－，且过点(0，－)，∴所求直线方程为y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0．

名师点拨 ☞

求直线方程应注意的问题

(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．

(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．

〔变式训练2〕

(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为__x＋13y＋5＝0__．

(2)直线x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为　x－3y＋4＝0　．

(3)已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__．

[解析]　(1)由题意可知BC的中点为H(，－)，

∴kAH＝＝－．

故所求直线的方程为y－0＝－(x＋5)，

即x＋13y＋5＝0．

(2)直线x－y＋4＝0与x轴的交点为(－，0)，斜率为，倾斜角θ为，可知所求方程直线的倾斜角为，斜率k＝(或由k＝tan(θ－)求)，故所求直线的方程为y＝(x＋)，即x－3y＋4＝0．

(3)设直线方程为y＝x＋b，则3b2＝3，∴b＝±1，故所求直线方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．

考点三　直线方程的应用——多维探究

例3　已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；

(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；

(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

[解析]　设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

则＋＝1．

(1)∵＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.此时，直线l的方程是＋＝1.即x＋2y－4＝0．

(2)a＋b＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋.此时，直线l的方程为＋＝1.即x＋y－2－＝0．

(3)设∠BAO＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，∴|MA|·|MB|＝＝，显然当θ＝时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kθ＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．

另解：|MA|·|MB|＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)(＋)－5＝＋≥4.当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．

(4)同(3)|MA|＝，|MB|＝，

∴|MA|2＋|MB|2＝＋

＝(sin2θ＋cos2θ)(＋)

＝5＋＋≥9．

(当且仅当cos2θ＝2sin2θ，即tan θ＝时取等号)

此时直线的斜率k＝－，

故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，

即x＋2y－2(＋1)＝0．

注：本题也可设直线方程为y－1＝k(x－2)(k<0)求解．

名师点拨 ☞

利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．

〔变式训练3〕

已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B，O为坐标原点．若S△AOB＝，求直线l的方程．

[解析]　设直线l的方程为＋＝1，

则解得或

故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，

即x＋y－3＝0或x＋4y－6＝0．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

(1)定点问题

例4　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围．

[解析]　(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，故无论k取何值，直线l必过定点(－2,1)．

(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1.　

由题意知解得k≥0．

故取值范围是[0＋∞)．

(2)曲线的切线问题

例5　(2019·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y＝相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为(　A　)

A．2  B．

C．1  D．3

[解析]　设切点为(m，)，m≠0，y＝的导数为y′＝－，可得切线的斜率k＝－，切线方程为y－＝－(x－m)，代入(2,0)，可得－＝－(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为×2×2＝2.故选A．

〔变式训练4〕

(1)直线y＝kx－k－2过定点__(1，－2)__．

(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__2x－y－2＝0__．