2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第09章 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

[基础题组练]

1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A．x－y＋1＝0　　　　 B．x－y－＝0

C．x＋y－＝0  D．x＋y＋＝0

解析：选D．由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.

2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)

A．ab＞0，bc＜0  B．ab＞0，bc＞0

C．ab＜0，bc＞0  D．ab＜0，bc＜0

解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.

3．(多选)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0  B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0  D．x－y－1＝0

解析：选AC．当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故选AC．

4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2，2] 

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2，0)∪(0，2] 

D．(－∞，＋∞)

解析：选C．令x＝0，得y＝，

令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．

5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0  B．3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0  D．3x＋y－6＝0

解析：选C．因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C．

6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．

解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

答案：x＋13y＋5＝0

7．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．

解析：直线l平分▱ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.

答案：y＝x

8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．

解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]．

答案：[－2，2]

9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边的垂直平分线DE的方程．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，

所以BC的方程为＝，

即x＋2y－4＝0.

(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，

则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，

所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，

即2x－y＋2＝0.

10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3，4)；

(2)斜率为.

解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，

所以b＝±1.

所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

[综合题组练]

1．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．－1＜k＜  B．k＞1或k＜

C．k＞或k＜1  D．k＞或k＜－1

解析：选D．设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.

2．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)

A．x－2y＋4＝0  B．x－2y＋8＝0

C．2x－y＋4＝0  D．2x－y＋8＝0

解析：选B．由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．

依题意得解得k＞0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.3.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的最大值为________，最小值为__________．

解析：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.

易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.

答案：8　

4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．

解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.

联立得x2＋x＋6＝0.

要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.

答案：∪

5．已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．

解：(1)①截距为0时，k＝＝，

所以l：y＝x，即x－2y＝0；

②截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将(2，1)代入，计算得t＝3，则直线方程为x＋y－3＝0.

综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.

(2)由题意得l的方程为x＋y－3＝0，

因为点P(a，b)在直线l上，所以a＋b＝3，

所以3a＋3b≥2＝2＝6，

当且仅当a＝b＝时等号成立，

所以3a＋3b的最小值是6.

6．(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，

所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．

易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，

则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．

又＋＝1(0≤m≤30)，

所以n＝20－m.

所以S＝(100－m)

＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．

所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.

所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．