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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章第6讲 正弦定理和余弦定理
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第6讲 正弦定理和余弦定理
[考纲解读] 1.熟练掌握正弦定理及余弦定理，并能解决简单的三角形度量问题．(重点)
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2021年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型.
对应学生用书P078
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝
＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝
2RsinB，c＝2RsinC(其中R是△ABC外接圆的半径)；
②a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系
式
a＝bsinA
bsinA
a>b
a≤b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
无解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1．概念辨析
(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( )
(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．小题热身
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
答案 D
解析 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
(2)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝75°，C＝45°，a＝3，则△ABC中最短边的长等于________．
答案
解析 因为A＝180°－B－C＝180°－75°－45°＝60°，所以△ABC中角C最小，最短边是c，
由正弦定理得c＝＝＝.
(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．
答案 4
解析 ∵cosC＝，0
(5)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
答案 1
解析 因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.
对应学生用书P079
题型 一 利用正、余弦定理解三角形
角度1 用正弦定理解三角形
1．(2019·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝，c＝4，cosC＝，则b＝( )
A．3 B．3
C. D.
答案 B
解析 因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝＝.又因为B＝，c＝4，所以由正弦定理得b＝＝＝3.
2．(2020·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝( )
A．15° B．45°
C．75° D．105°
答案 C
解析 在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，
由正弦定理得sinB＝＝＝.
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
角度2 用余弦定理解三角形
3．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 设AC＝x，由余弦定理得，cos120°＝＝－，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，选A.
4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
答案 A
解析 因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4，选A.
5．(2019·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝( )
A．4 B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝－，
所以cos∠DAB＝－cos∠ABC＝，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝32＋22－2×3×2×＝10.所以BD＝.
角度3 综合利用正、余弦定理解三角形
6．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－，得sinB＝.
由正弦定理，得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，
所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法
(1)已知两角和一边(如举例说明1)
①用三角形内角和定理求第三个角．
②用正弦定理求另外两条边．
(2)已知两边及其中一边所对的角
①用正弦定理(适用于优先求角的题，如举例说明2)
以知a，b，A解三角形为例：
a．根据正弦定理，经讨论求B；
b．求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
c．再根据正弦定理＝，求出边c.
②用余弦定理(适用于优先求边的题)
以知a，b，A解三角形为例：
列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(如举例说明3)
(3)已知两边和它们的夹角(如举例说明4)
①用余弦定理求第三边．
②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角．
(4)已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．(如举例说明5)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cosB＝.
2．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝( )
A．－ B.
C.或－1 D．－或0
答案 A
解析 因为b＝1，c＝，A＝，
所以由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××＝1，
所以a＝1.
由a＝b＝1，得B＝A＝，
所以cos5B＝cos＝－cos＝－.
3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
答案
解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cosC＝＝，
则sinC＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
题型 二 利用正、余弦定理边角互化
1．(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 因为
所以sinAcosB＋cosAsinB
所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
条件探究 将本例中△ABC满足的条件改为“cos2＝”，则△ABC的形状为________．
答案 直角三角形
解析 因为cos2＝，所以(1＋cosB)＝，
在△ABC中，由余弦定理得
＋·＝.
化简得2ac＋a2＋c2－b2＝2a(a＋c)，则c2＝a2＋b2，
所以△ABC为直角三角形．
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°
＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.
1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
技巧
解读
边化角
将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系．如举例说明1
角化边
将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化．如举例说明2，出现角的余弦值用余弦定理转化．如条件探究
和积
互化
a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边
2．利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
1．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案 C
解析 由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)，则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形．
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，
∴＝6.故选A.
3．(2019·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求角A；
(2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长．
解 (1)因为2acosA＝bcosC＋ccosB，
在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以2sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC，
即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA，
因为0
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，
得13＝b2＋c2－2bc·.
得(b＋c)2－3bc＝13，由·＝6，得bccosA＝6，所以bc＝12.
所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
题型 三 与三角形面积有关的问题
1．(2019·银川模拟)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，c＝，且△ABC的面积为，a＋b的值为________．
答案 5
解析 因为a＝2csinA，所以由正弦定理得sinA＝2sinCsinA，由00，所以sinC＝，又0
所以7＝(a＋b)2－2ab－ab，所以(a＋b)2＝25，a＋b＝5.
2．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解 (1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.
因为sinA≠0，所以sin＝sinB.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝sinB＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以＝30°，
所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．如举例说明1.
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形的面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．如举例说明1.
(2020·郑州市高三阶段考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.
(1)求AB的长；
(2)求△ABD的面积．
解 (1)在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝c2＋42－8c·①
又在△ACD中，cos∠ADC＝
＝，
在△ABD中，cos∠ADB＝
＝，
又∠ADB＋∠ADC＝π，
∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
即－2c2＋48＝0，②
联立①②，得c＝6，即AB＝6.
(2)∵cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，
又S△ABC＝b·c·sin∠CAB＝8，
∴S△ABD＝S△ABC＝.
对应学生用书P284
组 基础关
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosC＝.所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝( )
A．1 B．2
C．3 D.
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝，a＝4b，C＝60°，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.
3．在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 由正弦定理及＝＝，得＝＝，整理，得cosA＝cosB＝cosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．
4．(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由正弦定理，得＝＝.又因为B＝2C，所以＝＝2cosC，故cosC＝，所以cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝.
5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 依题意得，bcsinA＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.
6．(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10 B．8
C．7 D．4
答案 B
解析 因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，化简得c2－a2＝＝＝8.故选B.
7．(2019·泸州模拟)在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2h2＋4h2－2·h·2h·＝10h2，故AC＝h.所以cosA＝
＝＝.
8．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，－－＝，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.
答案 3
解析 由题意，得＝，根据余弦定理，得
cosA＝＝－.所以sinA＝，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得＝6，所以a＝3.
9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
答案 6
解析 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.
又b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
10．在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________.
答案 9
解析 如图所示，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，EC.
因为AD是BC边上的中线，
所以AE与BC互相平分，
所以四边形ACEB是平行四边形，
所以BE＝AC＝7.
又AB＝4，AE＝2AD＝7，
所以在△ABE中，由余弦定理得，
AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE
＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE.
在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)．
所以49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2×(16＋49)，
所以BC2＝81，所以BC＝9.
组 能力关
1．(2019·太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 利用正弦定理及二倍角公式得＝，即sinA＝sinCcosB.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝0.在△ABC中，sinB≠0，故cosC＝0，则C＝，故△ABC为直角三角形，故选A.
2．(2019·江西省九江市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，且△ABC的面积为，则a的值为________．
答案 2
解析 △ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝.由正弦定理＝＝，∴＝，即＝，化简得a2＝3bc.又△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.
3．(2020·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
答案
解析 由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，
∵A为三角形的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴0
答案
解析 设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，
∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，
∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.
5．(2020·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为，求DE的长；
(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.
解 (1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，
所以×2CE×＝，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝
＝ ＝.
(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，
所以cosθ＝，
所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)
＝×＋×＝.
解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，
设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，
在△CDF中，由余弦定理，得
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，
即7x2＝4＋16x2－8x，解得x＝或x＝.
又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，
所以DF＝，
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠DFC＝＝.
6．(2019·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.
(1)求的值；
(2)求角A的大小．
解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得
＝，
在△ACD中，由正弦定理，得＝.
因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝，AB＝2，
故＝＝2.
(2)在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos＝16－8cos，
在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos＝7－4cos，
又＝4＝，解得cos＝.
又∈，故＝，A＝.
第6讲 正弦定理和余弦定理
[考纲解读] 1.熟练掌握正弦定理及余弦定理，并能解决简单的三角形度量问题．(重点)
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2021年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型.
对应学生用书P078
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝
＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝
2RsinB，c＝2RsinC(其中R是△ABC外接圆的半径)；
②a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系
式
a＝bsinA
bsinA
a>b
a≤b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
无解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1．概念辨析
(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( )
(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．小题热身
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
答案 D
解析 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
(2)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝75°，C＝45°，a＝3，则△ABC中最短边的长等于________．
答案
解析 因为A＝180°－B－C＝180°－75°－45°＝60°，所以△ABC中角C最小，最短边是c，
由正弦定理得c＝＝＝.
(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．
答案 4
解析 ∵cosC＝，0
(5)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
答案 1
解析 因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.
对应学生用书P079
题型 一 利用正、余弦定理解三角形
角度1 用正弦定理解三角形
1．(2019·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝，c＝4，cosC＝，则b＝( )
A．3 B．3
C. D.
答案 B
解析 因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝＝.又因为B＝，c＝4，所以由正弦定理得b＝＝＝3.
2．(2020·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝( )
A．15° B．45°
C．75° D．105°
答案 C
解析 在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，
由正弦定理得sinB＝＝＝.
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
角度2 用余弦定理解三角形
3．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 设AC＝x，由余弦定理得，cos120°＝＝－，∴x2－4＝－3x，即x2＋3x－4＝0.∴x＝1或－4(舍去)．∴AC＝1，选A.
4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
答案 A
解析 因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4，选A.
5．(2019·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝( )
A．4 B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝－，
所以cos∠DAB＝－cos∠ABC＝，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝32＋22－2×3×2×＝10.所以BD＝.
角度3 综合利用正、余弦定理解三角形
6．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
解 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－，得sinB＝.
由正弦定理，得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，
所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法
(1)已知两角和一边(如举例说明1)
①用三角形内角和定理求第三个角．
②用正弦定理求另外两条边．
(2)已知两边及其中一边所对的角
①用正弦定理(适用于优先求角的题，如举例说明2)
以知a，b，A解三角形为例：
a．根据正弦定理，经讨论求B；
b．求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
c．再根据正弦定理＝，求出边c.
②用余弦定理(适用于优先求边的题)
以知a，b，A解三角形为例：
列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(如举例说明3)
(3)已知两边和它们的夹角(如举例说明4)
①用余弦定理求第三边．
②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角．
(4)已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角．(如举例说明5)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cosB＝.
2．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝( )
A．－ B.
C.或－1 D．－或0
答案 A
解析 因为b＝1，c＝，A＝，
所以由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××＝1，
所以a＝1.
由a＝b＝1，得B＝A＝，
所以cos5B＝cos＝－cos＝－.
3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
答案
解析 在△ACD中，由余弦定理可得
cosC＝＝，
则sinC＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
题型 二 利用正、余弦定理边角互化
1．(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 因为
所以sinAcosB＋cosAsinB
所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
条件探究 将本例中△ABC满足的条件改为“cos2＝”，则△ABC的形状为________．
答案 直角三角形
解析 因为cos2＝，所以(1＋cosB)＝，
在△ABC中，由余弦定理得
＋·＝.
化简得2ac＋a2＋c2－b2＝2a(a＋c)，则c2＝a2＋b2，
所以△ABC为直角三角形．
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°
＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.
1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
技巧
解读
边化角
将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系．如举例说明1
角化边
将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化．如举例说明2，出现角的余弦值用余弦定理转化．如条件探究
和积
互化
a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边
2．利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
1．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案 C
解析 由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)，则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形．
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，
∴＝6.故选A.
3．(2019·黄冈模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求角A；
(2)若a＝，·＝6，求△ABC的周长．
解 (1)因为2acosA＝bcosC＋ccosB，
在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以2sinAcosA＝sinBcosC＋cosBsinC，
即2sinAcosA＝sin(B＋C)＝sinA，
因为0
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，
得13＝b2＋c2－2bc·.
得(b＋c)2－3bc＝13，由·＝6，得bccosA＝6，所以bc＝12.
所以(b＋c)2－36＝13，得b＋c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
题型 三 与三角形面积有关的问题
1．(2019·银川模拟)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csinA，c＝，且△ABC的面积为，a＋b的值为________．
答案 5
解析 因为a＝2csinA，所以由正弦定理得sinA＝2sinCsinA，由0
所以7＝(a＋b)2－2ab－ab，所以(a＋b)2＝25，a＋b＝5.
2．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解 (1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.
因为sinA≠0，所以sin＝sinB.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝sinB＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以＝30°，
所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．如举例说明1.
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形的面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．如举例说明1.
(2020·郑州市高三阶段考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.
(1)求AB的长；
(2)求△ABD的面积．
解 (1)在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝c2＋42－8c·①
又在△ACD中，cos∠ADC＝
＝，
在△ABD中，cos∠ADB＝
＝，
又∠ADB＋∠ADC＝π，
∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
即－2c2＋48＝0，②
联立①②，得c＝6，即AB＝6.
(2)∵cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，
又S△ABC＝b·c·sin∠CAB＝8，
∴S△ABD＝S△ABC＝.
对应学生用书P284
组 基础关
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosC＝.所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝＝＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝( )
A．1 B．2
C．3 D.
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝，a＝4b，C＝60°，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.
3．在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 由正弦定理及＝＝，得＝＝，整理，得cosA＝cosB＝cosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．
4．(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由正弦定理，得＝＝.又因为B＝2C，所以＝＝2cosC，故cosC＝，所以cos2C＝2cos2C－1＝2×－1＝.
5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 依题意得，bcsinA＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.
6．(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10 B．8
C．7 D．4
答案 B
解析 因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，化简得c2－a2＝＝＝8.故选B.
7．(2019·泸州模拟)在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA＝( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝2h2＋4h2－2·h·2h·＝10h2，故AC＝h.所以cosA＝
＝＝.
8．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，－－＝，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.
答案 3
解析 由题意，得＝，根据余弦定理，得
cosA＝＝－.所以sinA＝，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得＝6，所以a＝3.
9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
答案 6
解析 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.
又b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
10．在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，则BC＝________.
答案 9
解析 如图所示，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，EC.
因为AD是BC边上的中线，
所以AE与BC互相平分，
所以四边形ACEB是平行四边形，
所以BE＝AC＝7.
又AB＝4，AE＝2AD＝7，
所以在△ABE中，由余弦定理得，
AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE
＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE.
在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)．
所以49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2×(16＋49)，
所以BC2＝81，所以BC＝9.
组 能力关
1．(2019·太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 利用正弦定理及二倍角公式得＝，即sinA＝sinCcosB.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＝0.在△ABC中，sinB≠0，故cosC＝0，则C＝，故△ABC为直角三角形，故选A.
2．(2019·江西省九江市一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，且△ABC的面积为，则a的值为________．
答案 2
解析 △ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝.由正弦定理＝＝，∴＝，即＝，化简得a2＝3bc.又△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.
3．(2020·海淀模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
答案
解析 由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号，
∵A为三角形的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴0
答案
解析 设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，
∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，
∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.
5．(2020·福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为，求DE的长；
(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.
解 (1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝CD·CE·sin∠BCD＝，
所以×2CE×＝，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝
＝ ＝.
(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，
所以cosθ＝，
所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)
＝×＋×＝.
解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，
设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，
在△CDF中，由余弦定理，得
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，
即7x2＝4＋16x2－8x，解得x＝或x＝.
又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，
所以DF＝，
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠DFC＝＝.
6．(2019·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.
(1)求的值；
(2)求角A的大小．
解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得
＝，
在△ACD中，由正弦定理，得＝.
因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝，AB＝2，
故＝＝2.
(2)在△ABD中，由余弦定理，得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos＝16－8cos，
在△ACD中，由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos＝7－4cos，
又＝4＝，解得cos＝.
又∈，故＝，A＝.
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