还剩16页未读，
继续阅读
所属成套资源：2021高考数学人教版一轮创新教学案
成套系列资料，整套一键下载
2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章第5讲 第1课时 两角和、差及倍角公式
展开
第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式
[考纲解读] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2021年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
对应学生用书P073
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(2)cos2α＝，sin2α＝.
(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝sin.
(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．
1．概念辨析
(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )
(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．( )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )
(5)对任意角α都有1＋sin＝2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 因为cosα＝－，α是第三象限的角，
所以sinα＝－＝－，
所以sin＝sinαcos＋cosαsin
＝×＋×＝－.
(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝( )
A．sin(α＋2β) B．sinα
C．cos(α＋2β) D．cosα
答案 D
解析 cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.
(3)已知cosx＝，则cos2x＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.
(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为( )
A．0 B.
C. D.
答案 D
解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.
对应学生用书P074
题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用
1．(2019·山西大学附中模拟)已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－4 B．4
C．－ D.
答案 C
解析 因为cos＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，所以tanα＝2，所以tan＝＝－.
2．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________.
答案 －1
解析 由已知条件，得cosθ＝，sinθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.
3．已知α∈，sinα＝，则sin的值为________．
答案
解析 因为α∈，sinα＝.
所以cosα＝－＝－.
所以sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝，
所以sin＝sincos2α－cossin2α
＝×－×＝.
应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例说明2.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．如举例说明1,3.
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
1．(2019·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又≤α≤π，
∴cosα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
2．(2019·武威模拟)已知角α在第二象限，若sinα＝，则tan2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且sinα＝，
所以cosα＝－＝－.
所以tanα＝＝－.
所以tan2α＝＝＝－.
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于( )
A．5 B．－1
C．6 D.
答案 A
解析 由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，
cosαsinβ＝，∴＝5.
题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A. B．1＋
C．2 D．2(tan18°＋tan27°)
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)
＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°
＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
3．已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.
答案
解析 由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.
1．注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
2．熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．如举例说明2.
(2)倍角公式变形
降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
1．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.
2．已知α，β，γ∈，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，那么β－α＝( )
A. B．－
C. D．±
答案 C
解析 由已知得sinα－sinβ＝－sinγ，①
cosα－cosβ＝cosγ，②
由①2＋②2得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，
所以cos(β－α)＝.
因为α，β∈，所以β－α∈，
因为γ∈，所以sinα－sinβ＝－sinγ<0，
所以α<β，所以β－α∈，所以β－α＝.
3．已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，
即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，
∴＝＝tan(β－α)，
又α＋与β的终边相同，
即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，
∴tan(β－α)＝tan＝tan＝，
即＝，故选B.
题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用
角度1 角的变换
1．(2019·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
解 (1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
因为cos＝，sin(α＋β)＝，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－，
所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.
角度2 函数名称的变换
2．求值：(1)＝________；
(2)－sin10°＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)＝
＝＝＝.
(2)原式＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－2cos10°＝
＝
＝＝＝.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．如举例说明1.
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．如举例说明2.
1．已知α是第四象限角，且sin＝，则sin＝________.
答案 －
解析 因为α是第四象限角，sin＝>0，所以α＋是第一象限角，所以cos＝＝，所以sin＝sin＝sin－cos＝×－×＝－.
2．(2019·吉林第三次调研)若sin＝，则cos2＝________.
答案
解析 因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.
3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想
[典例1] (2019·濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 B
解析 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α＜255°，又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×＝，故选B.
[典例2] 若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.
答案
解析 因为tanα＝，tan(α＋β)＝，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
对应学生用书P282
组 基础关
1．(2019·潍坊模拟)若cos＝－，则cos2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
解析 因为cos＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
2．(2020·武威摸底)已知角α的终边经过点P(－1，)，则sin2α的值为( )
A. B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 因为角α的终边经过点P(－1，)，所以由任意角三角函数的定义知，sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.
3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.
又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.
5.的值为( )
A．2＋ B．2－
C．2 D.
答案 B
解析 原式＝＝＝＝＝＝2－.
6．(2019·六安模拟)已知sinα－2cosα＝，则tan2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.或－
答案 B
解析 因为sinα－2cosα＝，所以(sinα－2cosα)2＝，即sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝.可得
＝，所以＝，解得tanα＝－3或tanα＝.当tanα＝－3时，tan2α＝＝＝.当tanα＝时，tan2α＝＝＝.
7．已知cos＝，则cosx＋cos＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D.
8．(2019·河南六市联考)已知tan＝2，x是第三象限角，则cosx＝________.
答案 －
解析 因为tan＝2，所以＝2，解得tanx＝，即sinx＝cosx，又sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝，又x是第三象限角，所以cosx＝－.
9．化简：·＝________.
答案
解析 原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.
10．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案
解析 依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，
∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，
故β＝.
组 能力关
1．(2019·辽宁五校协作体模拟)若sin＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 ∵sin＝，∴cos＝，
∴cos＝cos＝2cos2－1＝－.
2．(2019·银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝( )
A．4 B.
C．2 D.
答案 D
解析 ∵tan＝＝tan，且tanθ＝，∴＋θ＝kπ＋，∴θ＝kπ＋，k∈Z，∴tanθ＝tan＝.∴＝.
3．已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2，∵α是第二象限角，∴sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cos·sin－sincos＝－.
4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．
解 (1)由角α的终边过点P，得
sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.
(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
所以cosβ＝－或cosβ＝.
5．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)求tanα－的值．
解 (1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.
∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.
第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式
[考纲解读] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2021年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
对应学生用书P073
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(2)cos2α＝，sin2α＝.
(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝sin.
(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．
1．概念辨析
(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )
(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．( )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )
(5)对任意角α都有1＋sin＝2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 因为cosα＝－，α是第三象限的角，
所以sinα＝－＝－，
所以sin＝sinαcos＋cosαsin
＝×＋×＝－.
(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝( )
A．sin(α＋2β) B．sinα
C．cos(α＋2β) D．cosα
答案 D
解析 cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.
(3)已知cosx＝，则cos2x＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.
(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为( )
A．0 B.
C. D.
答案 D
解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.
对应学生用书P074
题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用
1．(2019·山西大学附中模拟)已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－4 B．4
C．－ D.
答案 C
解析 因为cos＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，所以tanα＝2，所以tan＝＝－.
2．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________.
答案 －1
解析 由已知条件，得cosθ＝，sinθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.
3．已知α∈，sinα＝，则sin的值为________．
答案
解析 因为α∈，sinα＝.
所以cosα＝－＝－.
所以sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝，
所以sin＝sincos2α－cossin2α
＝×－×＝.
应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例说明2.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．如举例说明1,3.
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
1．(2019·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又≤α≤π，
∴cosα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
2．(2019·武威模拟)已知角α在第二象限，若sinα＝，则tan2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且sinα＝，
所以cosα＝－＝－.
所以tanα＝＝－.
所以tan2α＝＝＝－.
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于( )
A．5 B．－1
C．6 D.
答案 A
解析 由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，
cosαsinβ＝，∴＝5.
题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A. B．1＋
C．2 D．2(tan18°＋tan27°)
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)
＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°
＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
3．已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.
答案
解析 由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.
1．注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
2．熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．如举例说明2.
(2)倍角公式变形
降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
1．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.
2．已知α，β，γ∈，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，那么β－α＝( )
A. B．－
C. D．±
答案 C
解析 由已知得sinα－sinβ＝－sinγ，①
cosα－cosβ＝cosγ，②
由①2＋②2得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，
所以cos(β－α)＝.
因为α，β∈，所以β－α∈，
因为γ∈，所以sinα－sinβ＝－sinγ<0，
所以α<β，所以β－α∈，所以β－α＝.
3．已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，
即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，
∴＝＝tan(β－α)，
又α＋与β的终边相同，
即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，
∴tan(β－α)＝tan＝tan＝，
即＝，故选B.
题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用
角度1 角的变换
1．(2019·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos的值．
解 (1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
因为cos＝，sin(α＋β)＝，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－，
所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.
角度2 函数名称的变换
2．求值：(1)＝________；
(2)－sin10°＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)＝
＝＝＝.
(2)原式＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－2cos10°＝
＝
＝＝＝.
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．如举例说明1.
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．如举例说明2.
1．已知α是第四象限角，且sin＝，则sin＝________.
答案 －
解析 因为α是第四象限角，sin＝>0，所以α＋是第一象限角，所以cos＝＝，所以sin＝sin＝sin－cos＝×－×＝－.
2．(2019·吉林第三次调研)若sin＝，则cos2＝________.
答案
解析 因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.
3．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.
思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想
[典例1] (2019·濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 B
解析 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α＜255°，又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×＝，故选B.
[典例2] 若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.
答案
解析 因为tanα＝，tan(α＋β)＝，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
对应学生用书P282
组 基础关
1．(2019·潍坊模拟)若cos＝－，则cos2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
解析 因为cos＝－sinα＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
2．(2020·武威摸底)已知角α的终边经过点P(－1，)，则sin2α的值为( )
A. B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 因为角α的终边经过点P(－1，)，所以由任意角三角函数的定义知，sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.
3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.
又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.
5.的值为( )
A．2＋ B．2－
C．2 D.
答案 B
解析 原式＝＝＝＝＝＝2－.
6．(2019·六安模拟)已知sinα－2cosα＝，则tan2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.或－
答案 B
解析 因为sinα－2cosα＝，所以(sinα－2cosα)2＝，即sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝.可得
＝，所以＝，解得tanα＝－3或tanα＝.当tanα＝－3时，tan2α＝＝＝.当tanα＝时，tan2α＝＝＝.
7．已知cos＝，则cosx＋cos＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D.
8．(2019·河南六市联考)已知tan＝2，x是第三象限角，则cosx＝________.
答案 －
解析 因为tan＝2，所以＝2，解得tanx＝，即sinx＝cosx，又sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝，又x是第三象限角，所以cosx＝－.
9．化简：·＝________.
答案
解析 原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.
10．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案
解析 依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，
∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，
故β＝.
组 能力关
1．(2019·辽宁五校协作体模拟)若sin＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 ∵sin＝，∴cos＝，
∴cos＝cos＝2cos2－1＝－.
2．(2019·银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝( )
A．4 B.
C．2 D.
答案 D
解析 ∵tan＝＝tan，且tanθ＝，∴＋θ＝kπ＋，∴θ＝kπ＋，k∈Z，∴tanθ＝tan＝.∴＝.
3．已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2，∵α是第二象限角，∴sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cos·sin－sincos＝－.
4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．
解 (1)由角α的终边过点P，得
sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.
(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
所以cosβ＝－或cosβ＝.
5．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)求tanα－的值．
解 (1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.
∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.
相关资料
更多
