2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第3节圆的方程

第三节　圆的方程[考纲传真]　1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (　　)(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆． (　　)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆． (　　)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.                (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D　[由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D．]3．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)A.＜m＜1   B．m＜或m＞1C．m＜   D．m＞1B　[由16m2－20m＋4＞0得m＜或m＞1.故选B．]4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,1)   B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)   D．a＝±1A　[由题意可得(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.故选A.]5．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．(x－2)2＋y2＝10　[设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.]圆的方程【例1】　(1)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为(　　)A.2＋y2＝　　　 B．2＋y2＝C.2＋y2＝   D．2＋y2＝(2)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4(1)C　(2)C　[(1)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得解得∴x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.故选C.(2)∵圆心在直线x＋y－2＝0上，∴设圆心坐标为(a,2－a)．∴圆的半径r＝＝，解得a＝1，r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.][规律方法]　求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． (1)(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100   B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25   D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．(1)C　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4　[(1)由题意可知圆心C为(6,8)，则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.(2)设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]与圆有关的最值问题【例2】　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值．[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.又|QC|＝＝4，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，最小值为2－.[母题探究]　(1)(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．(2)(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．[解]　(1)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴＝2，∴b＝9或b＝1.因此y－x的最大值为9，最小值为1.(2)∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，∴|QC|min＝d＝＝7.又圆C的半径r＝2，∴|MQ|的最小值为7－2.[规律方法]　与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． (1)设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为(　　)A.＋2   B．C．5   D．6(2)一束光线从点A(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长是(　　)A．4   B．5C．3－1   D．2(1)A　(2)A　[(1)的几何意义为点P(x，y)与点A(1,1)之间的距离．易知点A(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合可知的最大值为＋2＝＋2.故选A.(2)由题意可得圆心C(2,3)，半径r＝1，点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，求得|A′C|＝＝5，故最短路径为|A′C|－r＝5－1＝4，故选A.]与圆有关的轨迹问题【例3】　(2019·衡水调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解]　(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．[规律方法]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4   B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1   D．2＋y2＝C　[设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6]   B．[4,8]C．[，3]   D．[2，3]A　[圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)A．2   B．8C．4   D．10C　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C.]3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．2＋y2＝　[由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.]