2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系


第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真]　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置
关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何
特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数
特征
无实数解
一组实
数解
两组实
数解
一组实
数解
无实数解
公切线
条数
4
3
2
1
0


1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　　　　B．直线过圆心
C．直线不过圆心，但与圆相交 D．相离
B　[依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0，
所以直线过圆心．]
3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2 4．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
D　[因为点P(1，)是圆Q：x2＋y2－4x＝0上的一点，
故在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，故选 D．]
5．(教材改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
2　[由得x－y＋2＝0.
由于x2＋y2－4＝0的圆心为(0,0)，半径r＝2，且圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以公共弦长为2＝2＝2.]

直线与圆的位置关系

►考法1　直线与圆位置关系的判定
【例1】　直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
A　[法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.
故直线l与圆相交．
法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．]
►考法2　切线问题
【例2】　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
►考法3　弦长问题
【例3】　设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
B　[当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B．]
[规律方法]　1.判断直线与圆的位置关系的常用方法：
(1)若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与r的关系判断．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用Δ判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法．
2．(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(1)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B．∪[0，＋∞)
C. D．
(3)已知P是直线l：kx＋4y－10＝0(k＞0)上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为(　　)
A．3 B．2
C. D．
(1)D　(2)C　(3)A　[(1)由题意可知，圆心为(1,1)，半径r＝1，若直线与圆相交，则＜1，即＞1，∴m≠0，故选D．
(2)若|MN|＝2，则圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为＝＝1，解得k＝±.若|MN|≥2，则－≤k≤.
(3)圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
则圆心为C(1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图，
S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，
而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，
S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，
又|PA|＝|PB|＝，所以当|PC|取最小值时，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为2，S△PAC＝S△PBC＝，所以|PA|＝2，所以|CP|＝3，所以＝3，因为k＞0，所以k＝3.]
圆与圆的位置关系

【例4】　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解]　(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和圆C2相交．
(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝＝3，故公共弦长为2＝2.
[规律方法]　(1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．
(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
(3)两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
(1)(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
(1)B　(2)C　[(1)法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.]

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
4　[由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到
直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]
2．(2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
[－1,1]　[如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.
设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥，即≥.而ON＝1，∴OM≤.
∵M为(x0,1)，∴≤，
∴x≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1]．]
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解]　(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.