2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第10章第2节　二项式定理

第二节　二项式定理

[考纲传真]　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.

2．二项式系数的性质

[常用结论]

1．C＋C＋C＋…＋C＝2n.

2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)

(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)

(4)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(教材改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)

A．6　　 B．－6

C．24   D．－24

A　[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.]

3．(教材改编)二项式5的展开式中x3y2的系数是(　　)

A．5   B．－20

C．20   D．－5

A　[二项式5的通项为Tr＋1＝C5－r(－2y)r.根据题意，得解得r＝2.所以x3y2的系数是C3×(－2)2＝5.故选A.]

4．(教材改编)的值为(　　)

A．1   B．2

C．2 019   D．2 019×2 020

B　[原式＝＝＝1.故选A.]

5．(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.

10　[∵T6＝Cx5，又仅有第6项的系数最大，∴n＝10.]

二项展开式的有关问题

【例1】　(1)(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)

A．－3　　 B．－2

C．2   D．3

(2)(2018·广州二模)6的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)

(1)D　(2)－120　[(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2××C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.

(2)6表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]

(1)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)

A．±2   B.

C．－2   D．±

(2)已知在n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．

(1)A　(2)x2，－，x－2　[6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Crx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4.故C·4＝，即4＝，解得a＝±2.故选A.

(2)由Tr＋1＝C·()n－r·r

＝rC·x.

∵第6项为常数项，∴r＝5时有＝0，即n＝10.

当时，即r＝2,5,8时∈Z，

所以展开式中的有理项分别为x2，－，x－2.]

二项式系数的性质及应用

►考法1　二项式系数的和

【例2】　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)

A．50   B．70

C．90   D．120

(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

(1)C　(2)－3或1　[(1)令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C.

(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，

∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，

∴m＝－3或m＝1.]

►考法2　二项式系数的性质

【例3】　设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)

A．5   B．6

C．7   D．8

B　[根据二项式系数的性质知，(x＋y)2m的二项式系数最大的项有一项，即C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大的项有两项，即C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式．]

(1)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．

(2)已知n的展开式中的二项式系数和为32，n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．

(1)255　(2)40　[(1)n展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)n－k·k

＝C(－1)kx2n－3k，

当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8.

对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.

又当x＝0时，a0＝1，

∴a1＋a2＋…＋a8＝255.

(2)n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得n的展开式中的各项系数的和为(1＋a)(2－1)5＝2，所以a＝1，所以5的展开式中的常数项为C·(－1)3·25－3＋C·(－1)2·25－2＝40.]

1.(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)

A．15   B．20

C．30   D．35

C　[因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，

所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.

故选C.]

2．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)

A．10   B．20

C．30   D．60

C　[法一：利用二项展开式的通项公式求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.

其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.

法二：利用组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]