2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[考纲传真]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

[常用结论]

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．

(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．

(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“3≥2”是真命题．(　　)

(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)

(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)

(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－x－1≤0

B．∀x∈R，x2－x－1＞0

C．∃x0∈R，x－x0－1≤0

D．∃x0∈R，x－x0－1≥0

A　[特称命题的否定是全称命题，故选A.]

3．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lg x0＝1

B．∃x0∈R，sin x0＝0

C．∀x∈R，x3＞0

D．∀x∈R,2x＞0

C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C错误，故选C.]

4．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．

当a≠0时，依题意知

解得－8≤a＜0.

综上可知－8≤a≤0.]

全称命题、特称命题

1. 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2

D　[结合全(特)称命题的否定形式可知，D选项正确．]

2．(2019·商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)＜0，则(　　)

A．p是假命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0

B．p是假命题，綈p：∃x∈，f(x)≥0

C．p是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0

D．p是真命题，綈p：∃x∈，f(x)≥0

C　[易知f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)＜0，所以命题p：∃x∈，f(x)＜0是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0，故选C.]

3．下列四个命题：

p1：∃x0∈(0，＋∞)，x0＜x0；

p2：∃x0∈(0,1)，logx0＞logx0；

p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞logx；

p4：∀x∈，x＜logx.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3　　 B．p1，p4

C．p2，p3   D．p2，p4

D　[对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有x0＞x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝log x在上的图象可以判断p4是真命题．]

判断含有逻辑联结词的命题的真假

【例1】　(1)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则(　　)

A．p真，q真   B．p假，q真

C．p真，q假   D．p假，q假

(2)(2019·山师大附中模拟)设命题p：函数f(x)＝2x＋2－x在R上递增，命题q：△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B，下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．p∨(綈q)

C．(綈p)∧q   D．(綈p)∧(綈q)

(1)B　(2)C　[(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又因为p∨q为真命题，所以q为真命题．

(2)f(x)＝2x＋2－x是复合函数，在R上不是单调函数，命题p是假命题，在△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B成立，命题q是真命题，所以(綈p)∧q为真，故选C.]

已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；

③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是(　　)

A．②③   B．①②④

C．①③④   D．①②③④

D　[由题意可知：p，q均为真命题，∴p∧q是真命题，p∧(綈q)是假命题；(綈p)∨q是真命题；(綈p)∨(綈q)是假命题，故①②③④均正确．]

由命题的真假确定参数的取值范围

【例2】　(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．

(1)A　(2)(－∞，0)∪　[(1)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，

当x∈[1,2]时，

g(x)min＝g(2)＝－m，

由f(x)min≥g(x)min，

得0≥－m，所以m≥，故选A.

(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或

所以0≤a＜4.

当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤.

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，

所以p，q一真一假．

所以若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，

所以＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.]

[母题探究]　若将本例(1)中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？

[解]　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥，即m的取值范围为.

(2019·辽宁五校联考)已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)   B．[0,4]

C．[4，＋∞)   D．(0,4)

D　[因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.]

1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)

A．∀n∈N，n2＞2n　　　 B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n   D．∃n∈N，n2＝2n

C　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]

2．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．綈p∧q

C．p∧綈q   D．綈p∧綈q

B　[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．

如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，

∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．

∴p∧q为假命题，排除A.

∴綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题，选B.]