2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第1章第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

1．命题

可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

1．充分条件、必要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；

(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．

2．充分条件、必要条件与集合的关系

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题． (　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”． (　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． (　　)

[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．

(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则tan α≠1

B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠

D．若tan α≠1，则α＝

C　[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则﹁p”，显然﹁q：tan α≠1，﹁p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]

4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[x＜3D－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]

5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)

A．1　　 B．2

C．3　　 D．4

B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

D　[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]

2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是(　　)

A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题

B　[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]

3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

D　[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]

4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

2　[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.

逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]

【例1】　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)B　(2)A　[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.

(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]

(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则﹁p是﹁q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)A　[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，

由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．

因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.

(2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3.

所以q⇒p，pDq，从而q是p的充分不必要条件．

即﹁p是﹁q的充分不必要条件，故选A.]

【例2】　(1)设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪(0，＋∞)

(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3

C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3

(1)A　(2)C　[(1)由(4x－3)2≤1得≤x≤1，即p：≤x≤1，由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.

由﹁p是﹁q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，

从而{x|m≤x≤m＋1}．

∴，解得0≤m≤，故选A.

(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是＜，即－1＜k＜3.

故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C.]

(1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－1,1] B．[－1,0]

C．[1,2] D．[－1,2]

(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

(1)A　(2)3或4　[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.

(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝＝2±.

又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]