2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第53讲立体几何的综合应用

第53讲　立体几何的综合应用

1．进一步掌握特殊的线面位置关系——平行、垂直的判定与证明．

2．进一步掌握空间简单几何体的表面积与体积的计算．

3．掌握点到面之间的距离的计算的方法与技巧．

知识梳理

1．三种平行关系的相互转化

2．三种垂直关系的相互转化

3．空间几何体的体积与面积

(1)体积公式：V柱＝Sh，V锥＝Sh，

V台＝h(S上＋＋S下)，V球＝πR3.

(2)侧面积的计算：要注意分析每一侧面的形状，分别计算后相加．

4．等积变换思想：利用等积变换可求点到平面的距离．

热身练习

1．(经典真题)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.则下列结论正确的是(A)

A．若l⊥β，则α⊥β  B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β  D．若α∥β，则l∥m

　 因为l⊥β，l ⊂α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．

2．(经典真题)已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　.

　 V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝，

所以OA2＝h2＋()2＝＋＝6.

所以S球＝4πOA2＝24π.

(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)证明：AC⊥HD′；

(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．

(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

(2)由EF∥AC得＝＝.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，

所以OD′⊥平面ABC.

又由＝得EF＝.

五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.

(1)本题以折叠问题为载体，考查直线与平面的位置关系、几何体体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力．

(2)折叠问题的处理要注意：

①画好两图——画出平面图形和折叠后的空间图形；

②用好两图——不变的可在平面图形中处理，变化的要到空间图形中处理．

(3)对于空间几何体的有关计算问题，要注意如下两个方面：

①目标明确，要明确所求的是什么？已知了什么？还需要求出什么？怎样求？如本题中，要计算五棱锥的体积，需要求出它的高和它的底面积．

②论证合理性．在计算过程中要结合论证，保证结论的合理性，如本题证明OD′是五棱锥的高是求解本题的关键，需要结合位置关系的判定进行严格证明．

1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q －ABP的体积．

(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.

又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.

又AB ⊂平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.

又BP＝DQ＝DA，

所以BP＝2.

如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC.

由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，

所以QE⊥平面ABC，QE＝1.

因此，三棱锥Q －ABP的体积为

VQ －ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.

(经典真题)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．

(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.

(2)VP－ABD＝PA·AB·AD＝AB.

由VP－ABD＝，可得AB＝.

作AH⊥PB交PB于H.

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，

PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC.

又AH＝＝.

所以A到平面PBC的距离为.

(1)本题主要考查线面平行和垂直关系的判定及点到平面距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算能力．

(2)求点到平面的距离主要有两种方法：

①直接法，作出点到平面的距离，此时要特别注意垂足的位置；

②等体积法，通过等积变换间接求出点到平面的距离．

2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.

如图，连接OB.

因为AB＝BC＝AC，

所以△ABC为等腰直角三角形，

且OB⊥AC，OB＝AC＝2.

由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.

由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.

(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，

OP∩OM＝O，

所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，

所以OM＝，CH＝＝.

所以点C到平面POM的距离为.

1．对于位置关系的判定与证明，要注意运用综合分析的思想方法，“从所证想判定，从已知想性质”．

2．有关体积的面积的计算，要目标清楚，根据所求联想相应公式，明确需要什么，怎样进行计算？同时，要结合必要的证明，保证计算的合理性．

3．计算点到平面的距离，常采用直接法(作出距离再计算)和间接法(等体积法)．