2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第50讲空间中的平行关系

第50讲　空间中的平行关系

1．了解空间直线与平面平行、平面与平面平行的定义．

2．掌握判断空间直线与平面平行、平面与平面平行的方法，能正确判断空间直线与平面平行、平面与平面平行．

3．能正确运用“空间直线与平面平行”“平面与平面平行”进行逻辑推理．

知识梳理

1．直线与平面平行的判定

(1)定义：直线和平面　没有任何公共点　；

(2)判定定理：如果平面　外　的一条直线和平面内的一条直线　平行　，那么这条直线和这个平面平行．

符号表示：b⊄α，a⊂α，a∥b⇒b∥α　.

2．直线与平面平行的性质

如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线　平行　.

符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b　.

3．两个平面平行的判定

(1)判定定理：如果一个平面内有　两条相交直线　都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

符号表示：a⊂β，b⊂β，　a∩b＝P　，a∥α，b∥α⇒β∥α.

(2)垂直于　同一直线　的两个平面平行．

4．两个平面平行的性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线　平行于　另一个平面．

符号表示：α∥β，a⊂α，则a　∥　β.

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线　平行　.

符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则　a∥b　.

1．判断两平面平行的常用结论

(1)垂直于同一直线的两个平面平行；

(2)平行于同一平面的两个平面平行．

2．与平面平行有关的几个常用结论

(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；

(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；

(3)两条直线被第三个平面所截，截得的对应线段成比例；

(4)同一条直线与两平行平面所成的角相等．

热身练习

1．下列说法正确的是(D)

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α

D．若直线a⊄α，b⊂α且a∥b，那么直线a∥α

A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故B错；C中缺少a不在平面α内这一条件；D满足线面平行的三个条件，故选D.

2．直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(D)

A．a∥b     B．a⊥b

C．a，b异面   D．a∥b或a与b异面

直线a∥平面α，直线b⊂α，所以a与b无公共点，所以a与b平行或异面，选D.

3．下列命题错误的是(C)

A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

B．垂直于同一直线的两平面平行

C．平行于同一直线的两平面平行

D．平行于同一平面的两平面平行　

A，B是两个平面平行的两个判定定理，正确；

C错误，D正确，故选C.

4．下列命题中不正确的是(D)

A．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

B．两个平行平面同时和第三个平面相交，其交线一定平行

C．一直线与两平行平面中的一个相交，这条直线必与另一个相交

D．一直线与两平行平面中的一个平行，这条直线必与另一个平行

A，B是两个平面平行的性质，正确；C正确，可用反证法进行证明；D错误，这一直线还可能在另一个平面内．故选D.

5．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

　 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

 直线与平面平行的判断

(2017·浙江卷节选)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．证明：CE∥平面PAB.

在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，因此，在处理第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．这同时也考查了考生对信息的综合分析和处理的能力．

如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.

因为E，F分别为PD，PA的中点，

所以EF∥AD且EF＝AD.

又因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC且EF＝BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF.

因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE∥平面PAB.

(1)证线面平行的常用方法：

①利用线面平行的判定定理，转化为证线线平行．

②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行．

(2)利用判定定理时，要注意强调：

(ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外的直线与平面内的直线平行．

(3)证线线平行是证线面平行的基础，要注意如下结论的运用：

①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中位线定理、平行四边形的性质等．

1．(2015·山东卷节选)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

(方法一)如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.

在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．

又H为BC的中点，所以OH∥BD.

又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

(方法二)在三棱台DEF－ABC中，

由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.

又BE平面FGH，HF平面FGH，

所以BE∥平面FGH.

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，

所以GH∥AB.又GH⊂平面FGH，AB⊄平面FGH，

所以AB∥平面FGH.

又AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.

 平面与平面平行的判定

(2015·四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．

(1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.

同理BG∥平面ACH.

又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.

证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定定理，即转化为证线面平行．

2．如图，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，E，F分别是AC，A1C1的中点．求证：平面AB1F∥平面BEC1.

因为E，F分别是AC，A1C1的中点，

所以AE＝FC1.

又因为AE∥FC1，

所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1.

因为EC1⊂平面BEC1，AF⊄平面BEC1，

所以AF∥平面BEC1.

连接EF.因为EF∥BB1，EF＝BB1，

所以四边形BB1FE是平行四边形，

所以B1F∥BE，B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1，

所以B1F∥平面BEC1.

因为AF，B1F是平面AB1F内的相交直线，

所以平面AB1F∥平面BEC1.

 线面平行、面面平行的性质的应用

(2015·安徽卷节选)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.

由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.

又A1D⊂平面A1DE，B1C ⊄平面A1DE，

于是B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，

所以EF∥B1C.

(1)证线线平行，常利用线面平行、面面平行的性质定理．

(2)线面平行、面面平行转化为线线平行，都是通过“辅助平面”完成的．

3．(2018·石家庄一模节选)已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3(S△PEF表示△PEF的面积)．证明： PB∥平面ACE.

由题意知四边形ABCD为正方形，

所以AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，

所以AB∥平面PCD.

又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，

所以EF∥AB，又AB∥CD，

所以EF∥CD.

由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PC，PD的中点，

连接BD交AC于G，则G为BD的中点．

在△PBD中，EG为中位线，所以EG∥PB.

因为EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

所以PB∥平面ACE.

1．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”、再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但必须注意，转化方向的确定必须根据题目的条件和问题的特点而定．

三种平行关系转化的示意图为：

2．线面平行的判定定理中，要特别注意“平面外的一条直线”与“平面内的一条直线”，两者缺一不可；面面平行的判定定理中，要特别注意“两条相交直线”这一条件．

3．解决有关平行问题时，要注意常用结论的总结和应用，以下是一些常用结论，在解决有关选择题、填空题时可直接引用．

(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．

(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．

(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．

(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等．

(7)两平行平面间的距离处处相等．

(8)平行于同一条直线的两条直线平行．

(9)平行于同一个平面的两个平面平行．

(10)平行于同一直线的两个平面平行或相交．

(11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．