2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第52讲空间角及其计算

第52讲　空间角及其计算

1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念．

3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题．

知识梳理

1．两条异面直线所成的角

过空间 　任意　一点分别引两条异面直线的 　平行　直线，那么这两条相交直线所成的 　锐角或直角　叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则θ∈ 　(0°，90°]　.

当两条异面直线所成的角为 　90°　时，这两条异面直线互相垂直．

2．直线与平面所成的角

(1)射影

自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫做点P在平面α内的　正射影　(简称　射影　)．PP′的长度称为点P到平面α的　距离　.图形F上所有点在平面α上的射影构成的图形F′，叫做图形F在平面α上的　射影　.

(2)平面的斜线

如果一条直线m与平面α　相交　但不和这个平面　垂直　，则直线m叫做平面α的斜线，交点称为　斜足　.

(3)直线与平面所成的角

平面α的一条斜线PA和它在平面α上的　射影OA　所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；

平面的垂线与平面所成的角为　90°　；

直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为　0°　.

记任一直线与平面所成的角为θ，则θ∈　[0°，90°]　.

3．二面角

从一条直线l出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做　二面角　.记作二面角α－l－β，l叫做二面角的　棱　，两个半平面(α和β)叫做二面角的　面　.

二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把　∠AOB　叫做二面角α－l－β的平面角，用它来度量二面角的大小．

二面角θ的取值范围为θ∈　[0°，180°]　.

平面角是直角的二面角叫做　直二面角　.

热身练习

1．在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，那么∠FEG为(D)

A．30°  B．60°

C．120°  D．60°或120°

　 ∠FEG为两异面直线AD与BC所成的角或其补角．

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为 　60°　.

　 平移EF到AD1，则∠AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知

△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°，所以EF与B1D1所成的角为60°.

3．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.

(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的　中　点．

(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的　外　心．

(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的　垂　心．

4．如图，棱长都为a的正四棱锥中．

(1)侧棱与底面所成的角为　45°　；

(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为　　.

　 (1)此正棱锥的高为a，故侧棱与底面所成的角为45°.

(2)设侧面与底面所成的角为α，

则sin α＝＝.

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为　　；

(2)二面角D1－BC－A的大小为　45°　.

　 (1)三棱锥B1－A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为θ，则cos θ＝＝.

(2)二面角D1－BC－A的平面角为∠D1CD，其大小为45°.

 异面直线所成的角

(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.  B.

C.  D.

如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.

在Rt△ABE中，设AB＝2，

则BE＝，则tan∠EAB＝＝，

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.

C

求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种：①利用图形中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解．

1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)

A.  B.

C.  D.

将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.

由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cos θ＝＝＝.

 直线与平面所成的角

棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为 　　　　　.

过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，

可得A1M⊥平面DD1C1C，则∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．

由所有棱长均为2及∠A1D1C1＝120°，

得A1M＝A1D1sin 60°＝，

又A1C＝＝＝4，

所以sin ∠A1CM＝＝.

所以对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为.

(1)求线面角的方法：①找角，通过射影，作出直线与平面所成的角；②计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解．

(2)作角的关键是确定射影的位置，常利用面面垂直的性质定理及图形的特征．

2．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C 1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(C)

A．8  B．6

C．8  D．8

如图，连接BC1，AC.

因为AB⊥平面BB1C1C，

所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，

所以∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，

在Rt△ABC1中，AC1＝＝4，

在Rt△ACC1中，

CC1＝＝＝2，

所以V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2

＝8.

  二面角的平面角

如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

(1)证明：AP⊥BC；

(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求二面角B－AP－C的大小．

(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC，

又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.

因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD.

又PA平面PAD，故BC⊥PA.

(2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.

 因为BC⊥PA，BM∩BC＝B，得PA⊥平面BMC.

所以PA⊥CM.

故∠BMC为二面角B－AP－C的平面角．

在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝，

在Rt△POD中， PD2＝PO2＋OD2，

在Rt△PDB中， PB2＝PD2＋BD2，

所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.

在Rt△PAO中， PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.

又cos ∠BPA＝＝，

从而sin∠BPA＝，所以BM＝PBsin ∠BPA＝4.

同理CM＝4.

因为BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°，

即二面角B－AP－C的大小为90°.

求二面角的平面角的方法：①作角，根据图形特点作出二面角；②证明，依据二面角的平面角的定义，证明所成角是二面角的平面角；③计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解．

3．如图，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，求二面角C－AB－D的大小.

如图，取BD的中点E，连接CE，则CE⊥BD，

因为AD⊥平面BCD，所以AD⊥CE，

又AD∩BD＝D，所以CE⊥平面ABD，

作EF⊥AB，垂足为F，连接CF，

因为CE⊥平面ABD，所以CE⊥AB，又CE∩EF＝E，

所以AB⊥平面CEF，所以CF⊥AB，

所以∠CFE为二面角C－AB－D的平面角．

由题意易得CE＝a，CF＝a，

所以sin∠CFE＝＝，所以∠CFE＝60°.

即二面角C－AB－D的大小为60°.

1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是刻画线线位置关系、线面位置关系及面面位置关系的重要方式，其重点应了解其定义，掌握作角的基本方法及其求法．

2．求空间角的一般步骤：一作(找)，二证，三计算．作(找)出所求角是计算的基础．

(1)异面直线所成的角，一般通过作平行线来求，要注意异面直线所成角的取值范围是(0，]．

(2)直线与平面所成的角：利用定义作出角，关键是寻找到相关平面的垂线与射影，作出角后可在相应的三角形中求出角的大小，要注意其取值范围是[0，]．

(3)二面角：求二面角的平面角，首先要作出角，然后在相应的三角形中求解，注意二面角的取值范围是[0，π]．作二面角的平面角的方法很多，常见的有：

①定义法：即在棱上取点O，在两个半平面内作与棱垂直的射线，两射线所夹的角即是二面角的平面角(如图①)；

②三垂线法：若二面角α－l－β的一个半平面α内一点A在另一平面内的射影是B，则过A作AO⊥l于O，连接BO，则∠AOB即是二面角α－l－β的平面角(如图②)．