2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第39讲数列的综合问题

第39讲　数列的综合问题

1．掌握数列的通项、前n项和及等差、等比数列的综合问题处理的方法和技巧．

2．培养分析、归纳、抽象、概括的能力．

　 热身练习

1．(经典真题)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝　3n－1　.

　 因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，

即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，

即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.

2．(经典真题)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(B)

A．a1d>0，dS4>0  B．a1d<0，dS4<0

C．a1d>0，dS4<0  D．a1d<0，dS4>0

　 因为a3，a4，a8成等比数列，所以a＝a3a8，

所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，

展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.

因为d≠0，所以a1d＜0.

因为Sn＝na1＋d，

所以S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.

已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

由Sn与an的关系求通项，可利用an与Sn的关系：

an＝转化为an的递推关系再求解．

(1)由S2＝a2，得a1＋a2＝a2，即a2＝3a1＝3，

由S3＝a3，得a1＋a2＋a3＝a3，

即a3＝(a1＋a2)＝6.

(2)n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，

所以an＝a1···…·

＝1·····…··

＝，

因为当n＝1时，a1＝1也满足上式．

所以{an}的通项公式为an＝，n∈N*.

(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列的通项公式所采用的方法，是递推关系求通项的两种最基本的方法．

(2)一般地，若an－an－1＝f(n)，在f(n)可求和的条件下，求an可采用累加法；

若＝g(n)，在g(n)可求积的条件下，求an可采用累乘法．

1．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c为常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．

(1)求c的值；

(2)求{an}的通项公式．

(1)a1＝2，a2＝c＋2，a3＝2＋3c，

因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，

解得c＝0或c＝2.

当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意舍去，故c＝2.

(2)当n≥2时，

a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，

所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c，

又a1＝2，c＝2，

故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2,3,4，…)．

当n＝1时，上式也成立．

故an＝n2－n＋2(n＝1,2,3，…)．

(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．

(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．

由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.

因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.

所以Tn＝＝2n－1.

设等差数列{an}的公差为d.

由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.

由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，

从而a1＝1，d＝1，

故an＝n，所以Sn＝.

(2)由(1)有

T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n

＝－n

＝2n＋1－n－2.

由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得

＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，

整理得n2－3n－4＝0，

解得n＝－1(舍去)，或n＝4.

所以n的值为4.

本题是数列知识之间的综合应用，主要考查等差、等比数列的通项、前n项和等基础知识，还考查了特殊数列求和的基本方法，考查推理论证能力、运算求解能力．

2．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{an}是等差数列；

(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，证明Tn<1.

(1)因为Sn＝，n∈N*，

所以当n＝1时，a1＝S1＝(an>0)，所以a1＝1.

当n≥2时，由

由①－②得2an＝a＋an－a－an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，

所以数列{an}是以1为首项，以1为公比的等比数列．

(2)由(1)可得an＝n，Sn＝，

bn＝＝＝－.

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝1－＋－＋…＋－

＝1－<1.

1．数列的综合应用是高考的难点，经常出现在解答题中，但高考的数列题难度有所降低，一般在解答题的第一个位置，主要是数列之间的综合．

2．数列自身的综合的问题，要注意熟练掌握等差数列与等比数列两个特殊数列的定义、通项及前n项和公式及其性质，同时要注意掌握几种特殊类型的递推关系求通项的方法及数列求和的常用方法．

3．数列可以看作为自变量为正整数的函数，因此，要注意用函数观点来解决有关数列问题．数列与不等式的综合问题，考查方式主要有三种：

(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．

(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．

(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．