2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第18讲导数的综合应用——导数与不等式

第18讲　导数的综合应用——导数与不等式

1．能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式．

2．会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解．

知识梳理

1．如果不等式f(x)≥g(x)，x∈[a，b]恒成立，则转化为函数φ(x)＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]内的　最小值　≥0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)

2．若f′(x)>0，x∈[a，b]，且x0∈(a，b)有f(x0)＝0，则f(x)>0的x的取值范围为　(x0，b)　，f(x)<0的x的取值范围为　(a，x0)　.

3．若f(x)>m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的　最小值　>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)

若f(x)<m在x∈[a，b]上恒成立，则函数f(x)在x∈[a，b]的　最大值　<m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)

4．若f(x)>m在x∈[a，b]有解，则函数f(x)在x∈[a，b]的　最大值　>m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)

热身练习

1．对于∀x∈[0，＋∞)，则ex与1＋x的大小关系为(A)

A．ex≥1＋x  B．ex<1＋x

C．ex＝1＋x  D．ex与1＋x大小关系不确定

　 令f(x)＝ex－(1＋x)，因为f′(x)＝ex－1，

所以对∀x∈[0，＋∞)，f′(x)≥0，

故f(x)在[0，＋∞)上递增，故f(x)≥f(0)＝0，

即ex≥1＋x.

2．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)>0，则必有(B)

A．f(0)＋f(2)＜2f(1)

B．f(0)＋f(2)>2f(1)

C．f(0)＋f(2)＝2f(1)

D．f(0)＋f(2)与2f(1)的大小不确定

　 依题意，当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数；

当x＜1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，

故当x＝1时，f(x)取最小值，

所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，所以f(0)＋f(2)>2f(1)．

3．已知定义在R上函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且x>0时，f′(x)<0，则f(x)>0的解集为(A)

A．(－∞，0)  B．(0，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(1，＋∞)

　 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，

所以f(x)>0的解集为(－∞，0)．

4．若函数h(x)＝2x－＋在[1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是　[－2，＋∞)　.

　 因为h′(x)＝2＋，且h(x)在[1，＋∞)上单调递增，

所以h′(x)＝2＋≥0，所以k≥－2x2，

要使k≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，

则只要k≥(－2x2)max，所以k≥－2.

5．设f(x)＝－x2＋a，g(x)＝2x.

(1)若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为　[3，＋∞)　；

(2)若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)，则实数a的取值范围为　[0，＋∞)　.

　 (1)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．

则[F(x)]min＝F(1)＝－3＋a.

因为“若∀x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于“[F(x)]min≥0，x∈[0,1]”，

所以－3＋a≥0，解得a≥3.

所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．

(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2－2x＋a(x∈[0,1])．

则[F(x)]max＝F(0)＝a.

因为“若∃x∈[0,1]，f(x)≥g(x)”等价于

“[F(x)]max≥0，x∈[0,1]”，所以a≥0.

所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．

 利用导数解不等式

若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为

A．(－1,1)  B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－∞，＋∞)

令g(x)＝f(x)－2x－4，因为g′(x)＝f′(x)－2>0，

所以g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，

所以f(x)>2x＋4⇔g(x)>g(－1)x>－1.

所以f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．

B

利用导数解不等式的基本方法：

(1)构造函数，利用导数研究其单调性；

(2)寻找一个特殊的函数值；

(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集．

1．(2018·遂宁模拟)已知f(x)为定义在(－∞，0)上的可导函数，2f(x)＋xf′(x)>x2恒成立，则不等式(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0的解集为(B)

A．(－2020,0)  B．(－∞，－2020)

C．(－2016,0)  D．(－∞，－2016)

构造函数F(x)＝x2f(x)，x<0，

当x<0时，F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)

＝x[2f(x)＋xf′(x)]，

因为2f(x)＋xf′(x)>x2≥0，

所以F′(x)≤0，则F(x)在(－∞，0)上递减．

又(x＋2018)2f(x＋2018)－4f(－2)>0可转化为(x＋2018)2f(x＋2018)>(－2)2f(－2)，

即F(x＋2018)>F(－2)，所以x＋2018<－2，

所以x<－2020.

即原不等式的解集为(－∞，－2020)．

 利用导数证明不等式

已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x.当x∈[0,1]时，求证：f(x)≤.

要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤，

只需证明ex≥x＋1.记k(x)＝ex－x－1，则k′(x)＝ex－1，

当x∈(0,1)时，k′(x)>0，

因此，k(x)在[0,1]上是增函数，故k(x)≥k(0)＝0，

所以f(x)≤，x∈[0,1]．

(1)证明f(x)>g(x)的步骤：

①构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；

②研究F(x)的单调性或最值；

③证明F(x)min>0.

(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题．为了利用导数研究函数的性质，常用分析法将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数．

2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.证明：当a≥时，f(x)≥0.

当a≥时，f(x)≥－ln x－1.

设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.

当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.

所以x＝1是g(x)的最小值点．

故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.

因此，当a≥时，f(x)≥0.

 已知不等式恒成立求参数的范围

已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.若∀x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围．

f(x)≤g(x) ⇔7x2－28x－c≤2x3＋4x2－40x⇔c≥－2x3＋3x2＋12x，

所以原命题等价于c≥－2x3＋3x2＋12x在x∈[－3,3]上恒成立．

令h(x)＝－2x3＋3x2＋12x，x∈[－3,3]，则c≥h(x)max.

因为h′(x)＝－6x2＋6x＋12＝－6(x－2)(x＋1)，

当x变化时，h′(x)和h(x)在[－3,3]上的变化情况如下表：

　　易得h(x)max＝h(－3)＝45，故c≥45.

(1)已知不等式恒成立，求参数a的范围，例如f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，其主要方法是：

①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.

②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max或a<h(x)min.

(2)注意：①恒成立问题常转化为最值问题，要突出转化思想的运用；

②“f(x)max≤g(x)min”是“f(x)≤g(x)”的一个充分不必要条件，分析不等式恒成立时，要注意不等号两边的式子中是否是有关联的变量，再采取相应的策略．

1．   已知两个函数f(x)＝7x2－28x－c，g(x)＝2x3＋4x2－40x.若∀x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的取值范围．　

　 此题与例3不同，例3中不等式两边的式子中均有相同的变化的未知量x，故可先移项，直接进行转化；而此题中不等式两边的式子中的x1，x2相互独立，则等价于f(x1)max≤g(x2)min.

由∀x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，

都有f(x1)≤g(x2)成立，得f(x1)max≤g(x2)min.

因为f(x)＝7x2－28x－c＝7(x－2)2－28－c，

当x1∈[－3,3]时，f(x1)max＝f(－3)＝147－c；

g(x)＝2x3＋4x2－40x，

g′(x)＝6x2＋8x－40＝2(3x＋10)(x－2)，

当x变化时，g′(x)和g(x)在[－3,3]上的变化情况如下表：

易得g(x)min＝g(2)＝－48，

故147－c≤－48，即c≥195.

1．利用导数证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)>0.

其中要特别关注如下两点：

(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；

(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口．

2．利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集．

3．处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题．

已知f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：

①构造函数法：将不等式变形为f(x)－g(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0.

②分离参数法：将不等式变为a>h(x)或a<h(x)在x∈D内恒成立，从而转化为a>h(x)max或a<h(x)min.