2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第16讲导数在函数中的应用——单调性

第16讲　导数在函数中的应用——单调性

1．了解函数的单调性与其导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．

知识梳理

1．函数的单调性与导数的关系

设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．

如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为　增　函数；

如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为　减　函数．

2．导数与函数单调性的关系

设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.

如果f(x)在区间(a，b)内单调递增，则在(a，b)内f′(x)　≥　0恒成立；

如果f(x)在区间(a，b)内单调递减，则在(a，b)内f′(x)　≤　0恒成立．

热身练习

1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的(A)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

　 f′(x)>0在(a，b)上成立⇒f(x)在(a，b)上单调递增；反之，不一定成立，如y＝x3在(－1,1)上单调递增，但在(－1，1)上f′(x)＝3x2≥0.

2．设f(x)＝2x2－x3，则f(x)的单调递减区间是(D)

A．(0，)  B．(，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(－∞，0)和(，＋∞)

　 f′(x)＝4x－3x2<0⇒x<0或x>.

3．函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是(D)

A．(－∞，0)  B．(0，＋∞)

C．(－∞，－3)和(1，＋∞)  D．(－3,1)

　 因为f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令f′(x)>0，得x2＋2x－3<0，解得－3<x<1.

所以f(x)的单调递增区间为(－3,1)．

4．设定义在区间(a，b)上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如右图所示，其中x1，x2，x3，x4是f′(x)的零点且x1<x2<x3<x4.则

(1)f(x)的增区间为　(a，x1)，(x2，x4)　；

(2)f(x)的减区间为　(x1，x2)，(x4，b)　.

5.(2019·福建三明期中)函数f(x)＝x3－3bx＋1在区间[1,2]上是减函数，则实数b的取值范围为　[4，＋∞)　.

　 因为f′(x)＝3x2－3b≤0，所以b≥x2，

要使b≥x2在[1,2]上恒成立，

令g(x)＝x2，x∈[1,2]，

当x∈[1,2]，1≤g(x)≤4，所以b≥4.

 利用导数求函数的单调区间

函数f(x)＝x2－2x－4ln x的单调递增区间是____________．

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2x－2－＝，

由f′(x)>0，得x2－x－2>0，解得x>2或x<－1(舍去)．

所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．

(2，＋∞)

求可导函数f(x)的单调区间的步骤：

①求函数f(x)的定义域；

②求导数f′(x)；

③解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；

④确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．

1．(2017·全国卷Ⅱ节选)设函数f(x)＝(1－x2)ex.讨论f(x)的单调性．

f′(x)＝(1－2x－x2)ex.

令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.

当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；

当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；

当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.

所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增．

 已知函数的单调性求参数的范围

(经典真题)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是

A．(－∞，－2]  B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞)  D．[1，＋∞)

依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，

即k≥在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝，因为x>1，所以0<g(x)<1，

所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．

D

函数f(x)在(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．

2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(C)

A．[－1,1]  B．[－1，]

C．[－，]  D．[－1，]　　

(方法一)因为f(x)在(－∞，＋∞) 单调递增，

所以f′(x)＝1－cos 2x＋acos x≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，

即f′(x)＝－cos2x＋acos x＋≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，

令cos x＝t，－1≤t≤1，则等价于：

g(t)＝－t2＋at＋≥0对t∈[－1,1]恒成立．

等价于即

所以－≤a≤.即a的取值范围为[－，]．

(方法二：特殊值法)取a＝－1，

则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，

因为f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.

 利用导数求含参数的函数的单调区间

已知f(x)＝x2－aln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．

f(x)的定义域为(0，＋∞)，

因为f′(x)＝x－＝(x>0)，

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，令f′(x)>0，得x>.

令f′(x)<0，得0<x<.

所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．

综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．

(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．

(2)讨论时，首先要看f′(x)的符号是否确定，再看f′(x)的零点与定义域的关系．

(3)画出导函数的示意图有助于确定单调性．

3．(2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.讨论f(x)的单调性．

f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.

若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

若a＜0，则当x∈(0，－)时，f′(x)＞0；

当x∈(－，＋∞)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．

1．求可导函数f(x)的单调区间的方法：

(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；

(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；

(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．

在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．

2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：

(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；

(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．

3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．