2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第17讲导数在函数中的应用——极值与最值

第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值

1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．

2．会研究一些简单函数的极值．

3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．

知识梳理

1．函数的极值

(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有　f(x)＜f(x0)　，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；

如果对x0附近的所有点，都有　f(x)＞f(x0)　，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．

极大值与极小值统称为　极值　.

(2)判断可导函数f(x)的极值的方法是：

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极　大　值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极　小　值．

2．函数的最值

(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是　一条连续不断的曲线　，那么它必有最大值和最小值．

(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数f(x)在(a，b)内的　极值　.

②将f(x)的　极值　和　端点的函数值　 比较，其中最大的一个为　最大值　；最小的一个为　最小值　.

热身练习

1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，

则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(A)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

　 因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．

2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(C)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

　 因为函数f(x)在x＝x0处可导，

所以若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，

所以q⇒p，故p是q的必要条件；

反之，以f(x)＝x3为例，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．所以pq．

故p不是q的充分条件．

3．(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(D)

A．－4  B．－2

C．4  D．2

　 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，

所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；

当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，

所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．

所以f(x)在x＝2处取得极小值，所以a＝2.

4．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(C)

A．1，－1  B．1，－17

C．3，－17  D．9，－19

　 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.

f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，

f(－3)＝－17，f(0)＝1.

所以最大值为3，最小值为－17.

5．(2016·北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为　2　.

　 f′(x)＝＝－，

当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，

故f(x)max＝f(2)＝＝2.

 求函数的极值、最值

求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．

因为f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝±2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；

当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.

(1)求可导函数f(x)的极值的步骤：

①确定函数的定义域，求导数f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程根左、右值的符号；

④作出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

(2)求可导函数f(x)在[a，b]上最值的步骤：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)各极值与f(a)，f(b)比较，得出f(x)在[a，b]上的最值．

1．求函数f(x)＝x3－4x＋4在[－3,3]上的最大值与最小值．

由例1可知，在[－3,3]上，

当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；

当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.

又f(－3)＝7，f(3)＝1，

所以f(x)在[－3,3]上的最大值为，最小值为－.

 含参数的函数的极值的讨论

已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．

由f′(x)＝1－＝(x>0)可知

(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：

(1)参数是否影响f′(x)的零点的存在；

(2)参数是否影响f′(x)不同零点的大小；

(3)参数是否影响f′(x)在零点左右的符号．

如果有影响，则要分类讨论．

2．(2018·银川高三模拟节选)已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．

f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝a－＝.

当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．

当a>0时，由f′(x)<0得0<x<；由f′(x)>0得x>.

所以f(x)在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，

所以f(x)在x＝处有极小值．

所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，

当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．

 含参数的函数的最值讨论

已知函数f(x)＝ln x－ax(a>0)，求函数f(x)在[1,2]上的最大值．

f′(x)＝－a＝(x>0)，

令f′(x)＝0，得x＝.

(1)当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，

所以f(x)max＝f(1)＝－a.

(2)当≥2时，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，

所以f(x)max＝f(2)＝ln 2－2a.

(3)当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．

所以f(x)max＝f()＝－ln a－1.

综上可知：

当0<a≤时，f(x)max＝ln 2－2a；

当<a<1时，f(x)max＝－ln a－1；

当a≥1时，f(x)max＝－a.

(1)求函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内使f′(x)＝0的点和区间端点的函数值，最后比较即可．

(2)当函数f(x)中含有参数时，需要依据极值点存在的位置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．

3．已知函数f(x)＝ln x－ax(a>0)，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

f′(x)＝－a＝(x>0)，

令f′(x)＝0，得x＝.

(1)当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)min＝f(2)＝ln 2－2a.

(2)当≥2时，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a.

(3)当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．

又f(2)－f(1)＝ln 2－a，

所以当<a<ln 2时，f(x)min＝f(1)＝－a；

当ln 2≤a<1时，f(x)min＝f(2)＝ln 2－2a.

综上可知：

当0<a<ln 2时，函数f(x)min＝－a；

当a≥ln 2时，函数f(x)min＝ln 2－2a.

1．求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．

3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．

4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．