2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第21讲两角和与差的正弦

第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S(α±β):sin(α±β)=　　　　　　　　　　　. 

(2)公式C(α±β):cos(α±β)= 　　　　　　　　　　　. 

(3)公式T(α±β):tan(α±β)=　　　　　　　　　. 

常用结论

1.两角和与差的正切公式的变形:

tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).

2.二倍角余弦公式的变形:

sin2α=,cos2α=.

3.一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).

题组一　常识题

1.[教材改编] sin 75°的值为　　　　. 

2.[教材改编] 已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是　　　　. 

3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°=　　　　. 

4.[教材改编] 已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.

5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是　　　　. 

6.化简:sin x-cos x=　　　　. 

7.计算:=　　　　. 

8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为　　　　. 

探究点一　两角和与差的三角函数公式

例1 (1)[2018·湘潭模拟] 若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β= (　　)

A. B.

C. D.

(2)[2018·晋城一模] 已知cos=cos α,tan β=,则tan(α+β)=　　　　. 

[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.

变式题 (1)[2018·佛山质检] 已知cos α=,α∈,则cos= (　　)

A.- B.

C. D.

(2)[2018·唐山三模] 已知tanα+=1,则tanα-= (　　)

A.2- 

B.2+ 

C.-2- 

D.-2+

探究点二　两角和与差公式的逆用与变形

例2 (1)[2018·烟台一模] 已知cos=,则cos x+cos= (　　)

A.-1 B.1 

C. D.

(2)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)=　　　　. 

[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.

变式题 (1)[2018·河南中原名校联考] cos 375°+sin 375°的值为 (　　)

A. B. C.- D.-

(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=　　　　. 

探究点三　角的变换问题

例3 (1)已知α∈,cos-sin α=,则sinα+的值是 (　　)

A.- B.-

C. D.-

(2)[2018·莆田二模] 已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β= (　　)

A. B. C. D.

[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.

变式题 (1)[2018·榆林模拟] 若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos= (　　)

A. B.-

C. D.-

(2)已知<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α= (　　)

A. B.-

C. D.-

第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切

考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

【课前双基巩固】

知识聚焦

(1)sin αcos β±cos αsin β　(2)cos αcos β∓sin αsin β　(3)

对点演练

1.　[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=.

2.　[解析] ∵cos α=-,α∈,∴sin α=,∴sin=sin αcos+cos αsin=×+×=.

3.-1　[解析] 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1.

4.7　[解析] tan(α-β)==7.

5.-　[解析] 因为tan+α=tan+α=,所以=,所以tan α=-,又α∈,π,所以cos α=-=-.

6.sin　[解析] sin x-cos x=cossin x-sincos x=sin.

7.　[解析] ==tan(45°-15°)=tan 30°=.

8.2　[解析] 因为α+β=,所以tan(α+β)=-1,即=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan α,再根据两角和的正切公式求解.

(1)B　(2)-　[解析] (1)由sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,

可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=①,

sin 2αcos β+cos 2αsin β=②,

由①+②得2sin 2αcos β=,所以sin 2αcos β=.故选B.

(2)∵cos=cos α-sin α=cos α,

∴-sin α=cos α,故tan α=-,

∴tan(α+β)====-.

变式题　(1)D　(2)D　[解析] (1)∵cos α=,α∈,∴sin α===,

∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.故选D.

(2)由题意知,tan=tan

=

==-2+.故选D.

例2　[思路点拨] (1)首先利用两角差的余弦公式展开cos,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可.

(1)B　(2)-　[解析] (1)由题可知,cos x+cos=cos x+cos xcos+sin xsin=cos x+sin x==cos=×=1.故选B.

(2)∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cos α)2=,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=②,

由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,则sin(α-β)=-.

变式题　(1)A　(2)4　[解析] (1)cos 375°+sin 375°=cos 15°+sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=.故选A.

(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.

例3　[思路点拨] (1)对条件整理可得cos=,又α+=-,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sin β的值,再求角β.

(1)B　(2)C　[解析] (1)由cos-sin α=,

得cos αcos-sin αsin-sin α=,即cos α-sin α=,

∴cos α-sin α=,即cos=.

∵α∈,∴α+∈,

∴sin==,

∴sin=sin=sin-cos=×=-,故选B.

(2)因为sin α=,sin(β-α)=-,且α,β均为锐角,所以cos α=,cos(β-α)=,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=×+×==,所以β=.故选C.

变式题　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题可知,0<+α<,<-<,所以sin=,sin=,

所以cos=cos-=coscos+sinsin=×+×=.故选A.

(2)因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<,由cos(α-β)=,得sin(α-β)=,由sin(α+β)=-,得cos(α+β)=-,则sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×+×=-,故选B.

【备选理由】 例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.

例1　[配合例1使用] [2018·南充模拟] 若tan α=3tan β,则α-β的最大值为　　　　. 

[答案]

[解析] ∵tan α=3tan β,

∴tan β>0,

∴tan(α-β)===.

∵tan β>0,

∴+3tan β≥2=2,∴tan(α-β)≤,当且仅当3tan2β=1,即tan β=时取等号,此时β=,tan α=3tan β,即tan α=,α=.

又0<β<α<,∴0<α-β<,

∴0<tan(α-β)≤,

又y=tan x在上单调递增,

∴当tan(α-β)取得最大值时,α-β的值最大,∴当α=,β=时,α-β的值最大,∴α-β的最大值为-=.

例2　[配合例3使用] [2018·安徽皖江八校联考] 的值为　　　　. 

[答案] 1

[解析] ===1.

例3　[配合例3使用] [2018·安阳模拟] 已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m= (　　)

A. B.

C. D.2

[解析] D　∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,

∴sin[(α+β+γ)+(α+γ-β)]=3sin[(α+β+γ)-(α+γ-β)],

∴sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)+cos(α+β+γ)sin(α+γ-β)

=3sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)-3cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),

∴-2sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),

即==2,

∴m=2.故选D.