2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第16讲定积分与微积分基本定理

第16讲　定积分与微积分基本定理

1.定积分的概念

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个　　　　,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=　　　　　　　　　.其中f(x)称为　　　　函数,a称为积分　　　　限,b称为积分　　　　限. 

2.定积分的几何意义

如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)dx表示由直线x=　　　　,x=　　　　,y=　　　　和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. 

3.定积分的性质

性质1:常数因子可提到积分号前,即kf(x)dx=　　　　(k为常数). 

性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即[f(x)±g(x)]dx=　　　　　　　　. 

性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则f(x)dx=　　　　　　　. 

4.微积分基本定理

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则f(x)dx=　　　　. 

常用结论

如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函数,则f(x)dx=0.

题组一　常识题

1.[教材改编] dx=　　　　. 

2.[教材改编] sin xdx=　　　　. 

3.[教材改编] 已知f(x)dx=8,则f(x)dx+f(x)dx=　　　　. 

4.[教材改编] 直线y=x-4、曲线y=及x轴所围成的封闭图形的面积是　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.

5.定积分(t2+1)dx=　　　　. 

6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为　　　　. 

7.计算dx=　　　　. 

8.直线x=0,x=与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是　　　　　　　. 

探究点一　定积分的计算

例1 (1)已知函数f(x)=则f(x)dx=(　　)

A.2+π B.

C.-2+ D.-2

(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考] 若(ex-2ax)dx=e,则a=　　　　. 

[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.

(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.

变式题 (1)[2018·曲靖一中月考] 已知sin(x-φ)dx=,则sin 2φ=(　　)

A. B. C.- D.-

(2)[2018·莱芜模拟] dx的值为　　　　. 

探究点二　利用定积分求曲边梯形的面积

例2 (1)[2018·贵阳模拟] 若函数f(x)=Asinωx-(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为              (　　)

图2-16-1

A.

B.

C.

D.

(2)[2018·江西临川一中月考] 已知曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=　　　　. 

[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.

(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.

变式题 (1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为 (　　)

图2-16-2

A.4 B.2

C. D.

(2)[2018·安徽江南十校联考] 直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为              (　　)

A.13 B. C. D.

探究点三　定积分在物理中的应用

例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).

(1)计算该质点在前10 s所走的路程;

(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;

(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.

[总结反思] (1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=v(t)dt.

(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)dx.

变式题 一物体在变力F(x)=(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.

第16讲　定积分与微积分基本定理

考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.

2.了解微积分基本定理的含义.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.常数　f(ξi)　被积　下　上

2.a　b　0

3.kf(x)dx　f(x)dx±g(x)dx　f(x)dx+f(x)dx

4.F(b)-F(a)

对点演练

1.e2-2ln 2-e　[解析] dx=(ex-2ln x)=e2-2ln 2-e.

2.2　[解析] sin xdx=-cos x=2.

3.8　[解析] f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx=8.

4.　[解析] 画出图形(图略)可知,所求的面积S=dx+dx-(x-4)dx=+-(x-4)2=.

5.3t2+3　[解析] (t2+1)dx=(t2+1)x=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.

6.　[解析] 所求面积S=-(-x2)dx=2x2dx=.

7.-ln 2　[解析] 根据dx的几何意义,可得dx=-dx=-ln x=-ln 2.

本题若做成dx=ln x则是错误的.

8.S=|sin x-cos x|dx

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.

(1)D　(2)-1　[解析] (1)f(x)dx=sin xdx+dx,又sin xdx=-cos x=-2,dx的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的,故dx=π,∴f(x)dx=-2,故选D.

(2)∵(ex-2ax)dx=(ex-ax2)=e-a-1=e,

∴-a-1=0,∴a=-1.

变式题　(1)B　(2)3+ln 2　[解析] (1)根据微积分基本定理,得sin(x-φ)dx=-cos(x-φ),即-cos+cos(-φ)=cos φ-sin φ=,两边平方,得1-sin 2φ=,所以sin 2φ=1-=,故选B.

(2)dx=(x2+ln x)=4+ln 2-1-0=3+ln 2.

例2　[思路点拨] (1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.

(1)C　(2)　[解析] (1)由图像可知,A=1,=-=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin.

所以图中阴影部分的面积S=-sindx=cos=cos-cos==,故选C.

(2)由题意得,曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=dx+(2-x)dx=+=+2-=.

变式题　(1)B　(2)C　[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=(sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)=2,故选B.

(2)由题意得,直线l的方程为x=2,

将y2=8x化为y=±2.

由定积分的几何意义得,所求面积S=2(2)dx=4dx=4×=4××2=.

例3　[思路点拨] 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.

解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=(t+1)dt=t2+t=60(m).

(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=(t+1)dt=t2+t=42.5(m).

(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有(t+1)dt=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).

变式题　解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,

即F(x)dx=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-=.

从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为 J.

【备选理由】 例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.

例1　[配合例1使用] [2019·深圳外国语学校月考] 给出下列函数:①f(x)=xsin x;②f(x)=ex+x;③f(x)=ln(-x).存在a>0,使得f(x)dx=0的函数是              (　　)

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

[解析] B　对于①,f(x)=xsin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=xsin x在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=xsin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=xsin x(x∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得xsin xdx=2xsin xdx=0;对于②,f(x)=ex+x,则f(x)dx=(ex+x)dx==ea-e-a>0(a>0),即不存在满足题意的a;对于③,f(x)=ln(-x)是奇函数,所以对于任意a>0,f(x)dx=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.

例2　[配合例1使用] 已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则[(x+1)f(x)]dx=(　　)

A.2 B.-2

C.1 D.-1

[解析] D　由图易知f(x)=

所以[(x+1)f(x)]dx=(x+1)(-x-1)dx+(x+1)(x-1)dx=(-x2-2x-1)dx+(x2-1)dx=+=--=-1,故选D.

例3　[配合例2使用] 在直线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=ex+1围成的区域内的概率为　　　　. 

[答案]

[解析] 由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e+1)=e+1.

由解得

所以由曲线x=0,y=e+1,y=ex+1所围成的区域的面积S1=(e+1-ex-1)dx=(e-ex)dx=(ex-ex)=1,

故所求概率P==.